자연계열 1번

수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 등차수열이면서 동시에 등비수열이라고 하자.수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 등차수열이므로 처음 세 항 $\displaystyle a_1,a_2,a_3$는 $\displaystyle a_2-d,a_2,a_2+d$라고 쓸 수 있다.

또한 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 등비수열이므로 $\displaystyle a_2^2=a_1a_3$이다.따라서 $\displaystyle a_2^2=a_1a_3=(a_2-d)(a_2+d)=a_2^2-d^2$이다. 그러므로 $\displaystyle d=0$이 된다.

즉, 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n=a_1$이 성립하는 수열이다.

수열 $\displaystyle \{p_n\}$은 등비수열이므로 $\displaystyle p_n=p_1r^{n-1}$이라고 쓸 수 있다.그러면 $\displaystyle \log p_n=\log p_1+(n-1)\log r$이므로 수열 $\displaystyle \{\log p_n\}$은 등차수열이다.논제의 조건으로부터 수열 $\displaystyle \{\log p_n\}$이 등비수열이므로 논제1의 결과에 의해 수열 $\displaystyle \{\log p_n\}$의 모든 항은 $\displaystyle \log p_1$과 같다. 즉, 수열 $\displaystyle \{p_n\}$의 모든 항은 $\displaystyle p_1$과 같다.

따라서 $\displaystyle p_1=p_1^2-c$가 성립한다. 즉, $\displaystyle p_1$은 이차방정식 $\displaystyle x^2-x=c$의 양의 실근이 된다. 그런데 이 이차방정식의 실근은 이차함수 $\displaystyle y=x^2-x$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=c$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표와 같으므로 이차 방정식 $\displaystyle x^2-x=c$은 $\displaystyle c\ge-\frac14$이면 양의 실근을 갖지만, $\displaystyle c<-\frac14$일 때는 양의 실근을 갖지 않는다.따라서 가능한 모든 $\displaystyle c$값의 집합은 $\displaystyle \left\{c\middle|c\ge-\frac14\right\}$이다.