자연계열 2번

제시문 (ㄱ)에서 주어진 함수 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 다음과 같다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=3ax^2-6ax+4a$

도함수를 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=3a\left(x^2-2x+1+\frac13\right)\\&=3a\left((x-1)^2+\frac13\right)\end{aligned}$

i) $\displaystyle a>0$일 때 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로제시문 (ㄷ)에서 주어진 함수의 증가와 감소의 판정에 의해함수 $\displaystyle f(x)$는 실수 전체에서 증가한다.

ii) $\displaystyle a<0$일 때 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로제시문 (ㄷ)에서 주어진 함수의 증가와 감소의 판정에 의해함수 $\displaystyle f(x)$는 실수 전체에서 감소한다.

i) $\displaystyle a=0$인 경우,제시문 (ㄱ)에서 주어진 함수는 $\displaystyle f(x)=-b$가 되어 방정식 $\displaystyle f(x)=0$이 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 실근을 갖기 위해서는 $\displaystyle b=0$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle (a,b)=(0,0)$이다.

ii) $\displaystyle a\ne0$인 경우.논제 1)에 의해서, 함수 $\displaystyle f(x)$는 실수 전체에서 증가($\displaystyle a>0$)하거나, 감소($\displaystyle a<0$)한다. 따라서 방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 실수 전체에서 많아야 하나의 실근을 갖는다.방정식 $\displaystyle f(x)=0$이 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 하나의 실근을 갖기 위해서는 $\displaystyle f(0)=0$또는 $\displaystyle f(1)=0$또는, 제시문 (ㄹ)의 사잇값 정리에 의해서, 다음의 식을 만족하여야 한다.$\displaystyle f(0)f(1)=(a^2-b)(a^2+2a-b)<0$즉,$\displaystyle \begin{cases}a^2-b\ge0\\a^2+2a-b\le0\end{cases}\quad\text{또는}\quad\begin{cases}a^2-b\le0\\a^2+2a-b\ge0\end{cases}$를 만족하여야 한다.

i), ii)와 제시문 (ㄴ)의 조건 i)에 의해서, 제시문 (ㄴ)의 영역은 $\displaystyle b=a^2+2a,\;b=a^2,\;a=\pm\sqrt n$으로 둘러싸인 영역이다. 넓이 $\displaystyle A_n$는$\displaystyle A_n=\int_{-\sqrt n}^{\sqrt n}|(a^2+2a)-a^2|da=4\int_0^{\sqrt n}a\,da=2n$이다.

위의 $\displaystyle A_n$으로부터,$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A_n}{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{n+1}$이다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+1}=2\ne0$이므로 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A_n}{n+1}$은 발산한다.