의예과 2번

주어진 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 제 $\displaystyle n$항 $\displaystyle a_n$은 $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle n$까지 자연수의 약수의 평균 개수이다. 논제에서 $\displaystyle a_M=3$이고 $\displaystyle n>M$일 때 $\displaystyle a_n>3$이라는 것은 약수의 평균 개수가 $\displaystyle 3$이 되는 $\displaystyle M$에 대하여 $\displaystyle n>M$이면 약수의 평균 개수가 $\displaystyle 3$보다 크게 됨을 의미한다.그런데 소수는 약수의 개수가 $\displaystyle 2$이므로 평균이 $\displaystyle 3$보다 크게 되려면 어떤 수 이상에서는 소수가 아닌 수의 약수의 개수가 $\displaystyle 4$이상이 되어야 함을 암시하고 있다.우선 $\displaystyle M$을 찾기 위해 약수의 개수를 직접 구하여 보자.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline f(n)&1&2&2&3&2&4&2&4&3&4\\\hline a_n&1&3/2&5/3&2&2&7/3&16/7&5/2&23/9&27/10\end{array}$$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}n&11&12&13&14&15&16&17\\\hline f(n)&2&6&2&4&4&5&2\\\hline a_n&29/11&35/12&37/13&41/14&3&25/8&52/17\end{array}$즉, $\displaystyle n\le14$일 때 $\displaystyle a_n<3$이고 $\displaystyle a_{15}=3,a_{16}>3,a_{17}>3$이다.

한편, $\displaystyle f(n)=1\Leftrightarrow n=1,\;f(n)=2\Leftrightarrow n$은 소수,$\displaystyle f(n)=3\Leftrightarrow$어떤 소수 $\displaystyle p$에 대하여 $\displaystyle n=p^2$이다.따라서 $\displaystyle n\ge6$인 짝수 $\displaystyle n$은 약수의 개수가 $\displaystyle 4$이상이고 $\displaystyle n\ge3$인 홀수 $\displaystyle n$은 약수의 개수는 $\displaystyle 2$이상이다.그러므로 $\displaystyle n\ge5$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(n)+f(n+1)\ge2+4=6$이 된다.그런데 $\displaystyle a_{16}>3,\;a_{17}>3$이므로 $\displaystyle n\ge18$일 때 다음이 성립한다.1) $\displaystyle n$이 짝수 : $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^nf(k)&=\sum_{k=1}^{16}f(k)+(f(17)+f(18))+\cdots+(f(n-1)+f(n))\\&>16\times3+\frac{(n-16)}2\times6=3n\end{aligned}$2) $\displaystyle n$이 홀수 : $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^nf(k)&=\sum_{k=1}^{17}f(k)+(f(18)+f(19))+\cdots+(f(n-1)+f(n))\\&>17\times3+\frac{(n-17)}2\times6=3n\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle n\ge18$인 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n>3$이다.

즉, $\displaystyle n\le14$일 때 $\displaystyle a_n<3$이고 $\displaystyle a_{15}=3,n\ge16$일 때 $\displaystyle a_n>3$이다.따라서 $\displaystyle a_M=3$인 $\displaystyle M$은 $\displaystyle M=15$이고, $\displaystyle n>M$일 때 $\displaystyle a_n>3$이다.

실수 $\displaystyle c_1,c_2$에 대하여 다음 부등식이 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 성립한다고 하자.$\displaystyle 1+c_1x+c_2x^2\le e^{x^2}$그러면 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle c_1+c_2x\le\frac{e^{x^2}-1}x$, $\displaystyle x<0$일 때 $\displaystyle c_1+c_2x\ge\frac{e^{x^2}-1}x$이 성립한다.$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-1}x=\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\times x=1\times0=0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to0}(c_1+c_2x)=c_1$이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의해 $\displaystyle c_1=\lim_{x\to0+}(c_1+c_2x)\le\lim_{x\to0+}\frac{e^{x^2}-1}x=0$, $\displaystyle c_1=\lim_{x\to0-}(c_1+c_2x)\ge\lim_{x\to0-}\frac{e^{x^2}-1}x=0$이 성립한다.즉, $\displaystyle c_1\le0$이고 $\displaystyle c_1\ge0$이다. 따라서 $\displaystyle c_1=0$이다.

$\displaystyle f(x)=e^{x^2}-1-c_2x^2$이라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x(e^{x^2}-c_2)$이다.만일 $\displaystyle c_2>1$라고 하면 방정식 $\displaystyle e^{x^2}-c_2=0$은 서로 다른 두 실근 $\displaystyle \alpha,-\alpha$를 가진다. (단, $\displaystyle \alpha>0$)이 때 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}x&\cdots&-\alpha&\cdots&0&\cdots&\alpha&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&-&0&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&\searrow&\text{극소}&\nearrow&0&\searrow&\text{극소}&\nearrow\end{array}$즉, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$에서 최솟값 $\displaystyle f(\alpha)$를 가지고 $\displaystyle f(\alpha)<0=f(0)$이다.따라서 $\displaystyle x=\alpha$일 때 부등식 $\displaystyle 1+c_1x+c_2x^2\le e^{x^2}$이 성립하지 않는다.그러므로 $\displaystyle c_2>1$일 수 없다.

$\displaystyle c_2=1$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x(e^{x^2}-1)$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}x&\cdots&0&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&-&0&+\\\hline f(x)&\searrow&0&\nearrow\end{array}$즉, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 최솟값 $\displaystyle f(0)=0$을 가지므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=e^{x^2}-1-c_2x^2\ge0$이다.따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식 $\displaystyle 1+c_1x+c_2x^2\le e^{x^2}$이 성립한다.

따라서 제시문 (ㄹ)의 조건을 만족하는 실수 $\displaystyle c_1,c_2$에 대하여 $\displaystyle c_1+c_2$의 최댓값 $\displaystyle A$는 $\displaystyle 1$이 된다.