자연계열 3번

20번의 시행에서 앞면이 나오는 횟수를 $\displaystyle m$이라고 하면뒷면이 나오는 횟수는 $\displaystyle (20-m)$이다.이 경우 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle (2m,20-m)$이다.

이 점과 점$\displaystyle (0,10)$사이의 거리의 제곱이 100보다 작으므로$\displaystyle 4m^2+(10-m)^2<100$이다.이 부등식을 풀면$\displaystyle 5m^2-20m=5m(m-4)<0$에서$\displaystyle m$의 범위는 $\displaystyle 0<m<4$이고, 조건을 만족하는 $\displaystyle m$의 값은 $\displaystyle m=1,2,3$이다.

이는 동전의 앞면이 각각 1, 2, 3번 나오는 경우이므로 총 경우의 수는$\displaystyle {}_{20}\mathrm C_1+{}_{20}\mathrm C_2+{}_{20}\mathrm C_3=20+190+1140=1350$가지이다.

이항계수의 성질에 의하여 전체의 경우의 수는$\displaystyle {}_{20}\mathrm C_0+{}_{20}\mathrm C_1+{}_{20}\mathrm C_2+\cdots+{}_{20}\mathrm C_{20}=2^{20}$이므로 확률은 $\displaystyle \frac{1350}{2^{20}}\left(=\frac{675}{2^{19}}\right)$이다.

20번의 시행에서 앞면이 나오는 횟수를 $\displaystyle m$이라고 하면뒷면이 나오는 횟수는 $\displaystyle (20-m)$이다.이 경우 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle (2m,20-m)$이다.$\displaystyle (i+1)j=(2m+1)(20-m)$가 홀수가 되기 위해서는$\displaystyle (20-m)$이 홀수이면 된다.따라서 $\displaystyle m=1,3,\cdots,19$이다.

즉, 앞면이 $\displaystyle 1,3,5,\cdots,19$번 나오는 경우이고앞면이 $\displaystyle m$번 나오는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{20}\mathrm C_m$이므로 총 경우의 수는$\displaystyle {}_{20}\mathrm C_1+{}_{20}\mathrm C_3+\cdots+{}_{20}\mathrm C_{19}$이 된다.

제시문 (ㄷ)에 의하여$\displaystyle {}_{20}\mathrm C_1+{}_{20}\mathrm C_3+\cdots+{}_{20}\mathrm C_{19}={}_{20}\mathrm C_0+{}_{20}\mathrm C_2+\cdots+{}_{20}\mathrm C_{20}$이고 좌변과 우변을 더한 값은 $\displaystyle 2^{20}$이므로, 좌변의 합은$\displaystyle {}_{20}\mathrm C_1+{}_{20}\mathrm C_3+\cdots+{}_{20}\mathrm C_{19}=2^{19}$이 된다. 따라서 확률은 $\displaystyle \frac{2^{19}}{2^{20}}=\frac12$이다.