의예과 1번

제시문 (ㄱ)과 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터실수 $\displaystyle p,q$는 방정식 $\displaystyle x^2-2Nx-1=0$의 두 실근이 된다.제시문 (ㄱ)의 ①과 이차방정식의 근의 공식을 이용하면$\displaystyle p=N+\sqrt{N^2+1},\;q=N-\sqrt{N^2+1}$임을 알 수 있다.

$\displaystyle p^3$을 구하기 위해 다음을 계산하면$\displaystyle p^3+q^3=(p+q)^3-3pq(p+q)=8N^3+6N$그러므로$\displaystyle p^3=8N^3+6N-q^3$

자연수 $\displaystyle N$에 대하여 $\displaystyle N<\sqrt{N^2+1}<N+1$이므로$\displaystyle -1<q<0$이다. 즉,$\displaystyle 0<-q^3<1$이다.

그러므로$\displaystyle 8N^3+6N<p^3<8N^3+6N+1$이다.

따라서 $\displaystyle p^3$을 넘지 않는 최대 정수는 $\displaystyle 8N^3+6N$이다.

빨간색 구슬이 나온 횟수를 $\displaystyle x$, 파란색 구슬이 나온 횟수를 $\displaystyle y$라고 하면 빨간색 구슬과 파란색 구슬이 나온 횟수의 차가 $\displaystyle 1$인 경우는 $\displaystyle x=3,\;y=2$또는 $\displaystyle x=2,\;y=3$이다.

$\displaystyle n$개의 상자에서 하나의 상자를 임의로 선택하므로, 자연수 $\displaystyle k(k=1,2,\cdots,n)$가 적힌 상자를 선택할 확률은 $\displaystyle \frac1n$이며 이때 자연수 $\displaystyle k$가 적힌 상자에서 꺼낸 빨간색 구슬의 횟수의 차가 $\displaystyle 1$인 확률은$\displaystyle {}_5\mathrm C_2\left(\frac kn\right)^2\left(1-\frac kn\right)^3+{}_5\mathrm C_3\left(\frac kn\right)^3\left(1-\frac kn\right)^2$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}s_n&=\sum_{k=1}^n\frac1n\left[{}_5\mathrm C_2\left(\frac kn\right)^2\left(1-\frac kn\right)^3+{}_5\mathrm C_3\left(\frac kn\right)^3\left(1-\frac kn\right)^2\right]\\&=\sum_{k=1}^n\frac{10}n\left(\frac kn\right)^2\left(1-\frac kn\right)^2\left(1-\frac kn+\frac kn\right)\\&=\sum_{k=1}^n\frac{10}n\left(\frac kn\right)^2\left(1-\frac kn\right)^2\end{aligned}$

그러면 정적분의 정의에 의해서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n=10\int_0^1x^2(1-x)^2dx=\frac13$