생활과학·미디어 3번

$\displaystyle A=\int_0^1ax^2dx=\Biggl[\frac a3x^3\Biggr]_0^1=\frac a3$

$\displaystyle ax^2=bx$에서 $\displaystyle x(ax-b)=0$이므로 $\displaystyle x_1=\frac ba$가 된다.$\displaystyle \begin{aligned}B&=\int_0^{b/a}(bx-ax^2)dx\\&=\Biggl[\frac b2x^2-\frac a3x^3\Biggr]_0^{b/a}=\frac{b^3}{2a^2}-\frac{b^3}{3a^2}=\frac{b^3}{6a^2}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}C&=\int_{b/a}^1(ax^2-bx)dx\\&=\Biggl[\frac a3x^3-\frac b2x^2\Biggr]_{b/a}^1\\&=\frac a3-\frac b2-\left(\frac{b^3}{3a^2}-\frac{b^3}{2a^2}\right)\\&=\frac a3-\frac b2+\frac{b^3}{6a^2}\end{aligned}$

i) $\displaystyle B\ge C$인 경우$\displaystyle |B-C|=B-C=\frac b2-\frac a3=\frac a6$에서 $\displaystyle \frac b2=\frac a2$이므로 $\displaystyle a=b$가 됨을 알 수 있다.그런데 제시문 (ㄱ)에 따라 $\displaystyle \frac ba<1$이어야 하므로 $\displaystyle a>b$임을 알 수 있다.따라서 이러한 경우는 성립하지 않는다.

ii) $\displaystyle B<C$인 경우$\displaystyle |B-C|=C-B=\frac a3-\frac b2=\frac a6$에서 $\displaystyle \frac b2=\frac a6$이므로 $\displaystyle b=\frac a3$이 됨을 알 수 있다.

i), ii)에 의해서 $\displaystyle b=\frac a3$, 즉, $\displaystyle a=3b$라는 관계식을 얻을 수 있다.

논제 1에서 $\displaystyle a=3b$이므로 $\displaystyle \begin{aligned}C&=\frac a3-\frac b2+\frac{b^3}{6a^2}\\&=b-\frac b2+\frac{b^3}{54b^2}\\&=\frac{14}{27}b\end{aligned}$가 된다.

이 값이 $\displaystyle \frac79$이므로 $\displaystyle b=\frac32,\;a=\frac92$가 된다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac ba,\frac{b^2}a\right)=\left(\frac13,\frac12\right)$임을 알 수 있다.