자연계열 1번

가톨릭대 2022학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/catholic/2022su/jayeon_1

[문항 1] 제시문 (ㄱ)~(ㄴ)을 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오. (30점)

(ㄱ) 자연수 $\displaystyle m,\;n,\;l$ 와 상수 $\displaystyle a,\;b,\;c$ 에 대하여 두 함수 $\displaystyle f(x)=ax^{m+1}+bx^m,\;g(x)=x^n+cx^l$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (단, $\displaystyle a\ne0,\;b\ne0,\;n>l$ )

(가) $\displaystyle f(1)=8,\quad g(1)=2$

(나) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{g^{\prime}(x)}{f(x)}=1,\quad\lim_{x\to0}\frac{xg(x)}{f(x)}=\frac14$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 극한값 $\displaystyle L$ 은 다음과 같다.

$\displaystyle L=\lim_{x\to-1}\frac{g(x)}{f(x)}$

논제 1. (20점) 제시문 (ㄱ)의 $\displaystyle a,\;b,\;c$ 의 값을 각각 구하고 그 근거를 논술하시오.

논제 2. (10점) 제시문 (ㄴ)의 $\displaystyle L$ 의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오.

해설강의 준비중

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논제 1.

+10점

$\displaystyle g(1)=2$ 에서 $\displaystyle c=1$ $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{g^{\prime}(x)}{f(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{nx^{n-1}+lx^{l-1}}{ax^{m+1}+bx^m}=1$ 에서 $\displaystyle n=m+2,\;a=m+2$

+10점

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{xg(x)}{f(x)}=\lim_{x\to0}\frac{x^{n+1}+x^{l+1}}{ax^{m+1}+bx^m}=\frac14$ 에서 $\displaystyle l=m-1,\;b=4$ $\displaystyle f(1)=8$ 에서 $\displaystyle m=2$ 이고 $\displaystyle a=4,\;b=4$ .따라서, $\displaystyle a=4,\;b=4,\;c=1$ .

논제 2.

+10점

$\displaystyle f(x)=4x^3+4x^2$ 이고 $\displaystyle g(x)=x^4+x$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}L=\lim_{x\to-1}\frac{g(x)}{f(x)}&=\lim_{x\to-1}\frac{x^4+x}{4(x^3+x^2)}=\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{4x(x+1)}\\&=\lim_{x\to-1}\frac{x^2-x+1}{4x}=-\frac34\end{aligned}$

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