자연계열 3번

$\displaystyle f(x)$가 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 삼차함수이고 $\displaystyle f(0)=1$이므로$\displaystyle f(x)=x^3+px^2+qx+1$이다.$\displaystyle f(x)$의 도함수를 $\displaystyle g(x)$라고 하면 $\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)=3x^2+2px+q$이고, 도함수 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 극값을 가지므로 $\displaystyle g^{\prime}(0)=2p=0$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=x^3+qx+1$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+q$이다.$\displaystyle f(x)$가 극값을 가지므로 $\displaystyle q<0$이고, $\displaystyle c=\sqrt{-q}/\sqrt3$라고 하면 $\displaystyle q=-3c^2$이므로 $\displaystyle f(x)=x^3-3c^2x+1$이다.$\displaystyle f^{\prime}(\pm c)=0$이고 $\displaystyle c>0$이므로$\displaystyle x=-c$에서 극댓값 $\displaystyle f(-c)=2c^3+1>1$을 가지고,$\displaystyle x=c$에서 극솟값 $\displaystyle f(c)=-2c^3+1<1$을 가진다. 그러므로 $\displaystyle 2c^3+1=3$이고 $\displaystyle c=1$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x^3-3x+1$이다.

$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-1$에서 극댓값 $\displaystyle 3$, $\displaystyle x=1$에서 극솟값 $\displaystyle -1$을 가진다. 제시문 (ㄴ)의 $\displaystyle a$는 $\displaystyle f(x)$의 극솟값이고 $\displaystyle b$는 $\displaystyle f(x)$의 극댓값이므로 $\displaystyle a=-1,\;b=3$이다.

$\displaystyle -1\leq k\leq3$에 대하여 $\displaystyle f(t)=k$이고 $\displaystyle -1\leq t\leq1$인 $\displaystyle t$는 유일하게 존재하고,$\displaystyle \alpha\leq t\leq\beta,\;f(\alpha)=f(t)=f(\beta)=k,\quad f(x)-k=(x-\alpha)(x-t)(x-\beta)$이다.$\displaystyle f(x)-k=f(x)-f(t)=x^3-3x-(t^3-3t)=(x-t)(x^2+tx+t^2-3)$이므로 $\displaystyle \alpha,\;\beta$는 방정식 $\displaystyle x^2+tx+t^2-3=0$의 두 근이다.따라서 $\displaystyle (\beta-\alpha)^2=(\beta+\alpha)^2-4\alpha\beta=t^2-4(t^2-3)=-3t^2+12$이다.

$\displaystyle -1\leq t\leq1$이므로 $\displaystyle M=2\sqrt3$이고 $\displaystyle m=3$이다.따라서 $\displaystyle \frac{M}{m}=\frac{2\sqrt3}{3}$이다.