의예과 4번

삼차함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=\alpha$에서 극댓값을 가지고 $\displaystyle x=\beta$에서 극솟값 $\displaystyle 0$을 가진다고 하고 $\displaystyle f(x)$의 최고차항의 계수 $\displaystyle k$가 양수라고 하자.$\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=\alpha$에서 극댓값을 가지고 $\displaystyle x=\beta$에서 극솟값 $\displaystyle 0$을 가지므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=3k(x-\alpha)(x-\beta)$이고 $\displaystyle f(\beta)=0,\;\alpha<\beta$이다.따라서$\displaystyle f(x)=\int_\beta^xf^{\prime}(t)dt+f(\beta)=k(x-\beta)^3+\frac{3(\beta-\alpha)k}{2}(x-\beta)^2=k\left(x-\frac{3\alpha-\beta}{2}\right)(x-\beta)^2$이다.$\displaystyle \alpha\leq t\leq\beta$인 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle x$에 관한 방정식 $\displaystyle f(x)=f(t)$의 실근 중 가장 작은 근을 $\displaystyle g(t)$라고 하고 $\displaystyle h(t)=t-f(t)-g(t)$라고 하자.$\displaystyle \alpha<t<\beta$인 $\displaystyle t$에 대해서 $\displaystyle f(t)>0$이므로 $\displaystyle t-f(t)<t$이고방정식 $\displaystyle f(x)=f(t)$의 실근 $\displaystyle x$ 중 $\displaystyle t$보다 작은 근은 $\displaystyle g(t)$가 유일하므로$\displaystyle \alpha<t<\beta$일 때 $\displaystyle f(t-f(t))=f(t)$일 필요충분조건은 $\displaystyle t-f(t)=g(t)$, 즉, $\displaystyle h(t)=0$인 것이다. 따라서 열린구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$에서 방정식 $\displaystyle f(x-f(x))=f(x)$의 실근의 개수는 열린구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$에서 방정식 $\displaystyle h(x)=0$의 실근의 개수와 같다.

$\displaystyle f(x)=k\left(x^3-\frac32(\alpha+\beta)x^2+3\alpha\beta x-\frac12\beta^2(3\alpha-\beta)\right)$이고$\displaystyle f(x)-f(t)=k(x-t)\left(x^2+\frac12(2t-3\alpha-3\beta)x+3\alpha\beta+t^2-\frac32(\alpha+\beta)t\right)$이므로$\displaystyle g(t)$는 이차방정식 $\displaystyle x^2+\frac12(2t-3\alpha-3\beta)x+3\alpha\beta+t^2-\frac32(\alpha+\beta)t=0$의 두 근 중 더 작은 근이다. 그러므로 근의 공식에 의해$\displaystyle g(t)=\left(3(\alpha+\beta)-2t-\sqrt{3(3\beta-\alpha-2t)(\beta-3\alpha+2t)}\right)/4$이고, $\displaystyle \alpha\leq t\leq\beta$에서 $\displaystyle g(t)$는 연속이다. 따라서 $\displaystyle h(t)=t-g(t)-f(t)$도 구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$에서 연속이다.$\displaystyle h(\alpha)=\alpha-\alpha-f(\alpha)<0$이고 $\displaystyle h(\beta)=\beta-g(\beta)-f(\beta)=\beta-g(\beta)=\frac32(\beta-\alpha)>0$이므로 사잇값 정리에 의해 열린구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$에서 $\displaystyle h(t)=0$인 실수 $\displaystyle t$가 적어도 하나 존재한다.

$\displaystyle \alpha\leq t_1<t_2\leq\beta$에 대해서 $\displaystyle g(t_1)\leq\alpha,\quad g(t_2)\leq\alpha$이고, 닫힌구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$에서 $\displaystyle f(x)$는 감소하므로 $\displaystyle f(g(t_1))=f(t_1)>f(t_2)=f(g(t_2))$이고 구간 $\displaystyle (-\infty,\alpha]$에서 $\displaystyle f(x)$는 증가하므로 $\displaystyle g(t_1)>g(t_2)$이다. 즉, 닫힌구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$에서 $\displaystyle g(t)$는 감소한다.닫힌구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$에서 $\displaystyle f(t),\;g(t)$는 감소하므로 $\displaystyle h(t)=t-g(t)-f(t)$는 증가하는 연속함수이다. 따라서 열린구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$에서 $\displaystyle h(t)=0$인 실수 $\displaystyle t$의 개수는 $\displaystyle 1$이다.따라서 $\displaystyle n=1$일 때 명제 $\displaystyle p$가 참이다.즉, 명제 $\displaystyle p$가 참이 되도록 하는 $\displaystyle n$의 값은 있으며, 그 값은 $\displaystyle 1$이다.

제시문 (ㄴ)의 함수를 $\displaystyle f(x)$라고 하면 위의 논의로부터 $\displaystyle f(x)=k\left(x-\frac{3\alpha-\beta}{2}\right)(x-\beta)^2$이다. 따라서 극댓값을 $\displaystyle M=f(\alpha)$라고 하면 $\displaystyle f(x)-M=k(x-\alpha)^2\left(x-\frac{3\beta-\alpha}{2}\right)$이다. $\displaystyle \gamma=\frac{3\beta-\alpha}{2}$라고 하자.방정식$\displaystyle f(x-f(x))=f(x)\qquad(*)$의 근 $\displaystyle x$를 다음의 경우로 나누어 생각하자.i) $\displaystyle x-f(x)=x$인 경우: $\displaystyle f(x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle x=\frac{3\alpha-\beta}{2}$ 또는 $\displaystyle x=\beta$이고 이 경우는 위 방정식 $\displaystyle (*)$의 근이 된다.ii) $\displaystyle x-f(x)\ne x$인 경우: $\displaystyle x-f(x)\ne x$이고 $\displaystyle f(x-f(x))=f(x)$라고 하자.$\displaystyle f(x)\ne0$이고 서로 다른 $\displaystyle x-f(x)$와 $\displaystyle x$에서의 $\displaystyle f$의 함숫값이 같으므로 $\displaystyle 0<f(x)\leq M$이다.따라서 $\displaystyle x-f(x)<x$이고 $\displaystyle f(x-f(x))=f(x)$이므로 $\displaystyle \alpha<x\leq\gamma$이다. (단, $\displaystyle x\ne\beta$)방정식 $\displaystyle (*)$의 i)에서의 두 근이 $\displaystyle \frac{3\alpha-\beta}{2},\;\beta$이고 $\displaystyle \frac{3\alpha-\beta}{2}<\alpha<\beta$이므로 방정식 $\displaystyle (*)$의 근 중 가장 작은 값은 $\displaystyle \frac{3\alpha-\beta}{2}$이고 나머지 근은 모두 $\displaystyle \alpha$보다 크다. 즉, $\displaystyle a=\frac{3\alpha-\beta}{2}$이고 $\displaystyle \alpha<b$이다.위의 논의로부터 방정식 $\displaystyle (*)$는 열린구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$에서 유일한 근을 가지므로 $\displaystyle b$가 열린구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$에서의 방정식 $\displaystyle (*)$의 유일한 근임을 알 수 있다. 즉, $\displaystyle b<\beta$이다.그런데 $\displaystyle x=\beta$도 방정식 $\displaystyle f(x-f(x))=f(x)$의 근이고 $\displaystyle b<\beta$이므로 $\displaystyle c=\beta$이다.따라서 $\displaystyle b<\beta=c<d$이고 $\displaystyle f(d)=f(b)>0$임을 알 수 있다.

$\displaystyle f(b-f(b))=f(b)=f(d)=f(d-f(d))$이고 $\displaystyle b-f(b)<b<d$이므로 $\displaystyle b-f(b),\;b,\;d-f(d),\;d$는 모두 방정식 $\displaystyle f(x)=f(b)$의 근이고, $\displaystyle b-f(b),\;b,\;d$는 서로 다르다.그런데 $\displaystyle b-f(b)<d-f(d)<f(d)$이므로 $\displaystyle d-f(d)=b$이다.Correction. 부등식 마지막 항의 $\displaystyle f(d)$는 $\displaystyle d$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로 $\displaystyle d-b=f(d)=f(b)$이다.$\displaystyle d-b=q>0$라고 하면 $\displaystyle q=f(d)=f(b)$이고 방정식 $\displaystyle f(x)=f(b)$의 서로 다른 세 실근은 $\displaystyle b-q,\;b,\;b+q$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=k(x-b+q)(x-b)(x-b-q)+f(b)=k((x-b)^3-q^2(x-b))+q$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=k(3(x-b)^2-q^2)=3k\left(x-b-\frac{q}{\sqrt3}\right)\left(x-b+\frac{q}{\sqrt3}\right)$이므로$\displaystyle b+\frac{q}{\sqrt3}=\beta=c,\quad b-\frac{q}{\sqrt3}=\alpha$이고 $\displaystyle a=\frac{3\alpha-\beta}{2}=b-\frac2{\sqrt3}q$이다.$\displaystyle 0=f(\beta)=f\left(b+\frac{q}{\sqrt3}\right)=-\frac2{3\sqrt3}kq^3+q$이므로 $\displaystyle k=\frac{3\sqrt3}{2q^2}$이다.$\displaystyle f(2b-c)=f\left(b-\frac{q}{\sqrt3}\right)=\frac{3\sqrt3}{2q^2}\left(\frac2{3\sqrt3}q^3\right)+q=2q$이므로$\displaystyle m=k(b-a)f(2b-c)=\frac{3\sqrt3}{2q^2}\times\frac{2q}{\sqrt3}\times2q=6$이다.