자연계열 2번

8회 동전을 던져 앞면이 나온 횟수를 $\displaystyle m$, 뒷면이 나온 횟수를 $\displaystyle n$이라 하면 $\displaystyle m+n=8$이다. 이동거리는 $\displaystyle 16\leq3m+2n\leq24$이므로 다시 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{A}$로 오기 위하여 $\displaystyle 3m+2n$는 $\displaystyle 4$의 배수 $\displaystyle 16,\;20,\;24$이다. 따라서 $\displaystyle (m,n)$은 $\displaystyle (0,8),\;(4,4),\;(8,0)$이고 구하는 경우의 수 $\displaystyle a$는$\displaystyle a={}_{8}\mathrm{C}_{0}+{}_{8}\mathrm{C}_{4}+{}_{8}\mathrm{C}_{8}=72$이다.

8회 주머니에서 구슬을 뽑아 빨간, 노란, 파란 구슬이 나오는 횟수를 각각 $\displaystyle l,m,n$이라 하면 $\displaystyle l+m+n=8$이다. 이동거리는 $\displaystyle 8\leq3l+2m+n\leq24$이므로 다시 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{A}$로 오기 위하여 $\displaystyle 3l+2m+n$는 $\displaystyle 8$의 배수 $\displaystyle 8,\;16,\;24$이다. 따라서 8과 24이라면 $\displaystyle (l,m,n)$는 $\displaystyle (0,0,8),\;(8,0,0)$이고 경우의 수는 $\displaystyle 2$이다. 한편 $\displaystyle l+m+n=8$이고 $\displaystyle 3l+2m+n=16$인 경우는 $\displaystyle (l,m,n)$이 $\displaystyle (4,0,4),\;(3,2,3),\;(2,4,2),\;(1,6,1),\;(0,8,0)$이고 경우의 수는$\displaystyle {}_{8}\mathrm{C}_{4}\times{}_{4}\mathrm{C}_{0}+{}_{8}\mathrm{C}_{3}\times{}_{5}\mathrm{C}_{2}+{}_{8}\mathrm{C}_{2}\times{}_{6}\mathrm{C}_{4}+{}_{8}\mathrm{C}_{1}\times{}_{7}\mathrm{C}_{6}+{}_{8}\mathrm{C}_{0}\times{}_{8}\mathrm{C}_{8}=1107$이다. 따라서 구하는 경우의 수 $\displaystyle b=2+1107=1109$이다.