의예과 3번

동아리에서 학생 $\displaystyle 3$명을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{k}\mathrm{C}_{3}=\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}$, 이웃하는 두 학생 $\displaystyle A,\;B$를 한 사람으로 생각하여 $\displaystyle 4$명이 원탁에 앉는 경우의 수는 $\displaystyle (4-1)!=3!$, 이웃하는 두 학생 $\displaystyle A,\;B$가 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 $\displaystyle 2$이다. 따라서 제시문 (ㄴ)의 $\displaystyle a_k$는 다음과 같다.Correction. 해당 제시문 참조 (ㄴ)은 (ㄱ)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle a_k=\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}\times3!\times2=2k(k-1)(k-2)$

제시문 (ㄷ)의 $\displaystyle L$을 구하기 위해$\displaystyle b_k-\frac{a_k}{p}=c_k\qquad(k=3,4,\cdots,p-1)$라고 하자. 그러면 $\displaystyle 0\leq c_k<1$이다.한편, $\displaystyle 2\leq l\leq p-1$인 자연수 $\displaystyle l$에 대하여 $\displaystyle l<p$이므로 $\displaystyle 3\leq k\leq p-1$인 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle a_k$는 $\displaystyle 3$보다 큰 소수 $\displaystyle p$를 약수로 갖지 않는다. 만약 $\displaystyle 3\leq k\leq p-1$인 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \frac{a_k}{p}$이 자연수 $\displaystyle q$이라면 $\displaystyle a_k=qp$가 되어 자연수를 소인수분해한 결과는 곱하는 순서를 생각하지 않으면 오직 한 가지뿐이라는 것에 모순이다. 따라서 $\displaystyle \frac{a_k}{p}$는 자연수가 아니다. 즉, $\displaystyle 3\leq k\leq p-1$인 자연수 $\displaystyle k$에 대하여$\displaystyle 0<c_k<1\qquad\text{이고}\qquad0<c_k+c_{p+2-k}<2$

한편, $\displaystyle 3\leq k\leq p-1$인 자연수 $\displaystyle k$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}c_k+c_{p+2-k}&=b_k+b_{p+2-k}-\left(\frac{a_k}{p}+\frac{a_{p+2-k}}{p}\right)\\&=b_k+b_{p+2-k}-2\left(p^2-3(k-1)p+3k^2-6k+2\right)\end{aligned}$이고 이 값이 정수이므로$\displaystyle c_k+c_{p+2-k}=1\qquad(k=3,4,\cdots,p-1)$따라서$\displaystyle \sum_{k=3}^{p-1}c_k=\sum_{k=3}^{p-1}c_{p+2-k}=\frac{p-3}{2}$

그러므로 제시문 (ㄷ)의 $\displaystyle L$은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}L=\sum_{k=3}^{p-1}b_k&=\sum_{k=3}^{p-1}\frac{a_k}{p}+\sum_{k=3}^{p-1}c_k=\frac2p\sum_{k=3}^{p-1}k(k-1)(k-2)+\frac{p-3}{2}\\&=\frac2p\sum_{k=1}^{p-2}(k^3-k)+\frac{p-3}{2}=\frac{(p-1)(p-2)(p-3)}{2}+\frac{p-3}{2}\\&=\frac{(p-3)(p^2-3p+3)}{2}\end{aligned}$