의예과 1번

주사위 $\displaystyle 3$개를 던져 가장 큰 수와 가장 작은 수가 각각 $\displaystyle 3$과 $\displaystyle 1$로 차이가 $\displaystyle 2$인 경우는 $\displaystyle (1,1,3),\;(1,2,3),(1,3,3)$이고 경우의 수는 $\displaystyle 3+6+3=12$이다. 또, $\displaystyle 4$와 $\displaystyle 2$, $\displaystyle 5$와 $\displaystyle 3$, $\displaystyle 6$과 $\displaystyle 4$로 차이가 나는 경우의 수도 각각 $\displaystyle 12$이므로 차이가 $\displaystyle 2$인 경우의 수는 $\displaystyle 12*4=48$이다.같은 방법으로 $\displaystyle 5$와 $\displaystyle 1$로 차이가 $\displaystyle 4$인 경우는 $\displaystyle (1,1,5),\;(1,2,5),\;(1,3,5),\;(1,4,5),\;(1,5,5)$이고 경우의 수는 $\displaystyle 3+6+6+6+3=24$이고 $\displaystyle 6$과 $\displaystyle 2$로 차이가 $\displaystyle 4$인 경우의 수도 $\displaystyle 24$이므로 차이가 $\displaystyle 4$인 경우의 수는 $\displaystyle 48$이다.

즉, 주사위 $\displaystyle 3$개를 던져 상자 $\displaystyle \mathrm{A}$가 선택될 확률은$\displaystyle \frac{48+48}{6^3}=\frac49$이다.따라서 구하는 첫 번째 시행에서 검은 공이 나올 확률은$\displaystyle p=\frac49\times\frac15+\frac59\times\frac35=\frac{19}{45}$이다.

첫 번째 시행에서 흰 공이 나오고 두 번째 시행에서 검은 공이 나오는 경우는 다음 표의 $\displaystyle 4$가지이고 각각 확률은 표와 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c}\text{첫 번째 흰 공 상자}&\text{두 번째 검은 공 상자}&\text{확률}\\\hline\text{상자 A}&\text{상자 A}&\frac49\times\frac45\times\frac49\times\frac14\\\hline\text{상자 A}&\text{상자 B}&\frac49\times\frac45\times\frac59\times\frac35\\\hline\text{상자 B}&\text{상자 A}&\frac59\times\frac25\times\frac49\times\frac15\\\hline\text{상자 B}&\text{상자 B}&\frac59\times\frac25\times\frac59\times\frac34\end{array}$

그러므로 첫 번째 시행에서 흰 공이 나오고 두 번째 시행에서 검은 공이 나올 확률은$\displaystyle \begin{gathered}\frac49\times\frac45\times\frac49\times\frac14+\frac49\times\frac45\times\frac59\times\frac35+\frac59\times\frac25\times\frac49\times\frac15+\frac59\times\frac25\times\frac59\times\frac34\\=\frac{73}{3\times5\times9\times2}\end{gathered}$

따라서 구하는 조건부확률 $\displaystyle q$는$\displaystyle q=\frac{\frac{73}{3\times5\times9\times2}}{\frac{26}{45}}=\frac{73}{156}$이다.