자연계열 1번

집합 $\displaystyle A$의 원소 중 하나를 제외한 나머지 원소들의 평균은 가장 작은 수인 $\displaystyle a_1$을 제외한 경우 가장 크며 가장 큰 수인 $\displaystyle a_{100}$을 제외한 경우 가장 작다. 따라서$\displaystyle m=\frac1{99}\sum_{k=1}^{99}(3+7(k-1))=\frac{99\left(3+\frac12\times7\times98\right)}{99}=346$이고

$\displaystyle M=\frac1{99}\sum_{k=2}^{100}(3+7(k-1))=\frac{99\left(3+\frac12\times7\times100\right)}{99}=353$이다.

집합 $\displaystyle B$의 원소 중 하나를 제외한 나머지 원소들의 평균은 가장 작은 수인 $\displaystyle a_1$을 제외한 경우 가장 크며 가장 큰 수인 $\displaystyle a_N$을 제외한 경우 가장 작다. 그러므로$\displaystyle \frac1{N-1}\sum_{k=1}^{N-1}(3+7(k-1))=-4+\frac{7N}{2}\leq97+\frac19$이고$\displaystyle \frac1{N-1}\sum_{k=2}^{N}(3+7(k-1))=3+\frac{7N}{2}\geq97+\frac19$이다. 따라서

$\displaystyle 26+\frac{56}{63}\leq N\leq28+\frac{56}{63}$이고 가능한 $\displaystyle N$의 값은 $\displaystyle 27$ 또는 $\displaystyle 28$이다.

한편, $\displaystyle \left(97+\frac19\right)(N-1)$이 정수이므로 $\displaystyle N=28$이다.

집합 $\displaystyle B$의 원소 $\displaystyle p$를 제외한 원소 27개의 평균이 $\displaystyle 97+\frac19$이므로 원소 $\displaystyle p$는$\displaystyle \begin{aligned}p&=\sum_{k=1}^{28}(3+7(k-1))-27\left(97+\frac19\right)\\&=3\times28+7\times14\times27-97\times27-3\\&=4\times27=108\end{aligned}$이다.