자연계열 3번

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{e^{tn}}$은 첫째항과 공비가 $\displaystyle \frac{t}{e^t}$인 등비급수이다.함수 $\displaystyle F(t)=\frac{t}{e^t}$에 대하여 $\displaystyle F^{\prime}(t)=\frac{1-t}{e^t}$이므로 $\displaystyle F(t)=\frac{t}{e^t}$는 구간 $\displaystyle (-\infty,1]$에서 증가, 구간 $\displaystyle [1,\infty)$에서 감소하는 함수이고 $\displaystyle t=1$에서 최댓값 $\displaystyle \frac1e$를 가진다.또한 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}F(t)=0,\;\lim_{t\to-\infty}F(t)=-\infty,\;F(0)=0$이므로 조건 (가)로부터 $\displaystyle a<0$이고 $\displaystyle F(a)=-1$이다.

따라서 $\displaystyle t>a$인 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle r=\frac{t}{e^t}$라고 하면 $\displaystyle -1<r\leq\frac1e$이고 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{e^{tn}}$의 합은 $\displaystyle \frac{r}{1-r}$이다.그러므로 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{e^{tn}}$의 합은 $\displaystyle r=\frac1e$, 즉 $\displaystyle t=1$일 때 최대이며 그 합은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{e^n}=\frac1{e-1}$이다.$\displaystyle t>a$인 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle x=t$에서의 함숫값은 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{e^{tn}}$의 합과 같으므로 $\displaystyle M=\frac1{e-1}$이다.

함수 $\displaystyle F(t)=\frac{t}{e^t}$가 구간 $\displaystyle (-\infty,1]$에서 증가하고, $\displaystyle |\cos\alpha|\leq1,\;|\sin\alpha|\leq1$이므로$\displaystyle F(\cos\alpha)=\frac{\cos\alpha}{e^{\cos\alpha}}\leq\frac{\sin\alpha}{e^{\sin\alpha}}=F(\sin\alpha)$일 필요충분조건은 $\displaystyle \cos\alpha\leq\sin\alpha$이다.

$\displaystyle 0\leq\alpha\leq2\pi$이므로 $\displaystyle \cos\alpha\leq\sin\alpha$일 필요충분조건은 $\displaystyle \frac\pi4\leq\alpha\leq\frac{5\pi}4$이다.따라서 $\displaystyle A=\left[\frac\pi4,\frac{5\pi}4\right]$이다.

$\displaystyle q(x)=g(x)-h(x)=e^{\cos x}\sin x-e^{\sin x}\cos x$라고 하면구하고자 하는 도형의 넓이는 $\displaystyle S=\int_0^{2\pi}|q(x)|dx$이다.

$\displaystyle e^{\cos x}>0,\;e^{\sin x}>0$이므로 $\displaystyle q(x)\geq0$일 필요충분조건은 $\displaystyle \frac{\cos x}{e^{\cos x}}\leq\frac{\sin x}{e^{\sin x}}$이므로$\displaystyle S=\int_0^{2\pi}|q(x)|dx=-\int_0^{\frac\pi4}q(x)dx+\int_{\frac\pi4}^{\frac{5\pi}4}q(x)dx-\int_{\frac{5\pi}4}^{2\pi}q(x)dx$ 이다.

$\displaystyle u=\cos x$로 놓으면 $\displaystyle \frac{du}{dx}=-\sin x$이므로$\displaystyle \int g(x)dx=\int e^{\cos x}\sin x\,dx=-\int e^u du=-e^u+C=-e^{\cos x}+C$ 이고$\displaystyle u=\sin x$로 놓으면 $\displaystyle \frac{du}{dx}=\cos x$이므로$\displaystyle \int h(x)dx=\int e^{\sin x}\cos x\,dx=\int e^u du=e^u+C=e^{\sin x}+C$ 이다.따라서 $\displaystyle Q(x)=-e^{\cos x}-e^{\sin x}$는 $\displaystyle q(x)$의 한 부정적분이다.

그러므로 $\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^{2\pi}|q(x)|dx=-\int_0^{\frac\pi4}q(x)dx+\int_{\frac\pi4}^{\frac{5\pi}4}q(x)dx-\int_{\frac{5\pi}4}^{2\pi}q(x)dx\\&=-\left(Q\left(\frac\pi4\right)-Q(0)\right)+\left(Q\left(\frac{5\pi}4\right)-Q\left(\frac\pi4\right)\right)-\left(Q(2\pi)-Q\left(\frac{5\pi}4\right)\right)\\&=2\left(Q\left(\frac{5\pi}4\right)-Q\left(\frac\pi4\right)\right)=4\left(e^{\frac{\sqrt2}{2}}-e^{-\frac{\sqrt2}{2}}\right)\end{aligned}$ 이다.