의예과 4번

$\displaystyle f(x)$의 최고차항의 계수를 $\displaystyle k$라고 하면 실수 $\displaystyle a,b,c$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=k(3(x-a)^2-b)$, $\displaystyle f(x)=k((x-a)^3-b(x-a))+c$로 쓸 수 있다.$\displaystyle b\leq0$이면 $\displaystyle f(x)$는 일대일함수이므로 조건 (나)에 의해 실수 $\displaystyle t$가 $\displaystyle 0\leq t\leq4$일 때 $\displaystyle g(t)=t$이고, 이는 조건 (다)를 만족하지 않는다. 그러므로 $\displaystyle b>0$이다.

실수 $\displaystyle t$가 $\displaystyle 0\leq t\leq4$일 때 $\displaystyle x=t$에서의 함숫값 $\displaystyle g(t)=s$는 조건 (나)에서 $\displaystyle f(s)=f(t)$이므로$\displaystyle k((s-a)^3-b(s-a))+c=k((t-a)^3-b(t-a))+c$이고$\displaystyle (s-t)((s-a)^2+(s-a)(t-a)+(t-a)^2-b)=0$이다.따라서 $\displaystyle |t-a|>2\sqrt{b/3}$일 때는 $\displaystyle s=t$이고,$\displaystyle |t-a|\leq2\sqrt{b/3}$일 때는 $\displaystyle s=t$ 또는 $\displaystyle s=\frac{-(t-a)\pm\sqrt{4b-3(t-a)^2}}2+a$이다.

정의역이 $\displaystyle [a-2\sqrt{b/3},a+2\sqrt{b/3}]$인 두 함수 $\displaystyle \alpha(x),\beta(x)$를$\displaystyle \alpha(x)=\frac{-(x-a)-\sqrt{4b-3(x-a)^2}}2+a,\quad\beta(x)=\frac{-(x-a)+\sqrt{4b-3(x-a)^2}}2+a,$정의역이 실수 전체의 집합인 함수 $\displaystyle I(x)$를 $\displaystyle I(x)=x$라고 하면 위 결과로부터$\displaystyle 0\leq t\leq4$이고 $\displaystyle |t-a|>2\sqrt{b/3}$일 때 $\displaystyle g(t)=I(t)$이고, ---- (*)$\displaystyle 0\leq t\leq4$이고 $\displaystyle |t-a|\leq2\sqrt{b/3}$일 때 $\displaystyle (g(t)-I(t))(g(t)-\alpha(t))(g(t)-\beta(t))=0$이다. ---- (**)1) $\displaystyle 0<a-2\sqrt{b/3}$ 또는 $\displaystyle a+2\sqrt{b/3}\leq0$인 경우:(*)에 의해 $\displaystyle g(x)$는 어떤 구간 $\displaystyle (0,p_1]$에서 함수 $\displaystyle I(x)$와 일치한다. (단, $\displaystyle p_1>0$)따라서 $\displaystyle g(0)=\lim_{t\to0+}g(t)=\lim_{t\to0+}t=0$이고, $\displaystyle \lim_{t\to0+}\frac{g(t)-g(0)}{\sqrt{t}}=\lim_{t\to0+}\frac{t-0}{\sqrt{t}}=0$이다.따라서 (다) 조건을 만족하지 않는다.2) $\displaystyle a-2\sqrt{b/3}\leq0<a+2\sqrt{b/3}$인 경우:(**)에 의해 $\displaystyle g(x)$는 어떤 닫힌구간 $\displaystyle [0,p_2]$에서 세 함수 $\displaystyle I(x),\alpha(x),\beta(x)$ 중 하나와 일치하게 된다. (단, $\displaystyle p_2>0$)조건 (다)에서 $\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{g(x)-g(0)}x=\lim_{x\to0+}\frac1{\sqrt{x}}\frac{g(x)-g(0)}{\sqrt{x}}=\infty$이므로 이 구간에서 $\displaystyle g(x)$와 일치하는 함수는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하지 않다. 따라서 이 구간에서 $\displaystyle g(x)$는 두 함수 $\displaystyle \alpha(x),\beta(x)$ 중 하나와 일치하고 $\displaystyle a-2\sqrt{b/3}=0$, 즉 $\displaystyle 4b=3a^2$이다. 그런데 $\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{g(x)-g(0)}{\sqrt{x}}=\sqrt3$, $\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{\alpha(x)-\alpha(0)}{\sqrt{x}}=-\frac{\sqrt{6a}}2$, $\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{\beta(x)-\beta(0)}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{6a}}2$이므로 닫힌구간 $\displaystyle [0,p_2]$에서 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle \beta(x)$와 일치하고, $\displaystyle a=2,b=3$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=k((x-2)^3-3(x-2))+c$이고, 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 극댓값 $\displaystyle f(1)=2k+c$, $\displaystyle x=3$에서 극솟값 $\displaystyle f(3)=-2k+c$를 가진다. 그리고, 두 함수 $\displaystyle \alpha(x),\beta(x)$의 정의역은 $\displaystyle [0,4]$이고,$\displaystyle \alpha(x)=\frac{-(x-2)-\sqrt{3x(4-x)}}2+2,\quad\beta(x)=\frac{-(x-2)+\sqrt{3x(4-x)}}2+2$ 이다.

세 곡선 $\displaystyle y=I(x),\;y=\alpha(x),\;y=\beta(x)$는 열린구간 $\displaystyle (0,1),(1,3),(3,4)$에서는 교점을 가지지 않으므로 (**)에 의해 각 닫힌구간 $\displaystyle [0,1],[1,3],[3,4]$에서는 $\displaystyle g(x)$는 세 함수 $\displaystyle I(x),\alpha(x),\beta(x)$ 중 하나와 일치하게 된다. 그런데 닫힌구간 $\displaystyle [0,p_2]$에서 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle \beta(x)$와 일치하므로 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle \beta(x)$와 일치하고, $\displaystyle g(1)=\beta(1)=4\ne1=\alpha(1)=I(1)$이므로 닫힌구간 $\displaystyle [1,3]$에서도 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle \beta(x)$와 일치한다.닫힌구간 $\displaystyle [3,4]$에서는 $\displaystyle g(3)=\beta(3)=I(3)=3\ne0=\alpha(3)$이므로 닫힌구간 $\displaystyle [3,4]$에서는 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle I(x)$ 또는 $\displaystyle \beta(x)$와 일치한다. 따라서 제시문 (ㄱ)의 함수 $\displaystyle g(x)$로 가능한 모든 함수는 다음 두 함수 $\displaystyle g_1(x),g_2(x)$이고 제시문 (ㄴ)의 $\displaystyle n$의 값은 $\displaystyle 2$이다.$\displaystyle g_1(x)=\begin{cases}3&(x<0)\\\frac{-(x-2)+\sqrt{3x(4-x)}}2+2&(0\leq x\leq3)\\x&(3<x\leq4)\\4&(4<x)\end{cases},$$\displaystyle g_2(x)=\begin{cases}3&(x<0)\\\frac{-(x-2)+\sqrt{3x(4-x)}}2+2&(0\leq x\leq4)\\1&(4<x)\end{cases}$

함수 $\displaystyle f_1(x)$은 정의역이 $\displaystyle [3,4]$, 공역이 $\displaystyle [-2k+c,2k+c]$이며 $\displaystyle 3\leq t\leq4$인 모든 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle f_1(t)=f(t)$을 만족하는 함수이고, 함수 $\displaystyle f_2(x)$은 정의역이 $\displaystyle [1,3]$, 공역이 $\displaystyle [-2k+c,2k+c]$이며 $\displaystyle 1\leq t\leq3$인 모든 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle f_2(t)=f(t)$을 만족하는 함수라고 하자.삼차함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 극댓값 $\displaystyle f(1)=2k+c$, $\displaystyle x=3$에서 극솟값 $\displaystyle f(3)=-2k+c$를 가지고 $\displaystyle f(4)=2k+c$이므로 두 함수 $\displaystyle f_1(x),f_2(x)$는 일대일대응이고 역함수를 가진다. $\displaystyle h_1(x)$를 $\displaystyle f_1(x)$의 역함수, $\displaystyle h_2(x)$를 $\displaystyle f_2(x)$의 역함수라고 하자.$\displaystyle 1\leq t\leq3$인 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle f(h_1(f(t)))=f(t)$이고, $\displaystyle \alpha(t)\leq I(t)\leq h_1(f(t))$,$\displaystyle \alpha(t)\leq I(t)\leq\beta(t)$이므로 $\displaystyle h_1(f(t))=\beta(t)=g_1(t)=g_2(t)$이고,$\displaystyle 3\leq t\leq4$인 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle f(h_1(f(t)))=f(t),\;f(h_2(f(t)))=f(t)$이고,$\displaystyle \alpha(t)\leq\beta(t)\leq I(t),\;\alpha(t)\leq h_2(f(t))\leq h_1(f(t))$이므로 $\displaystyle g_1(t)=h_1(f(t)),\;g_2(t)=h_2(f(t))$이다.$\displaystyle 1\leq t\leq4$인 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle g(t)\geq0$이고, $\displaystyle 1\leq t\leq3$인 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(t)\leq0$, $\displaystyle 3\leq t\leq4$인 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(t)\geq0$이므로 제시문 (ㄷ)의 $\displaystyle S$는 다음과 같다.$\displaystyle S=-\int_1^3f^{\prime}(x)g(x)dx+\int_3^4f^{\prime}(x)g(x)dx=-\int_1^3h_1(f(x))f^{\prime}(x)+\int_3^4f^{\prime}(x)g(x)dx$1) $\displaystyle \begin{aligned}-\int_1^3h_1(f(x))f^{\prime}(x)dx&=-\int_{2k+c}^{-2k+c}h_1(x)dx=\int_{-2k+c}^{2k+c}h_1(x)dx\\&=4k\times h_1(2k+c)-\int_3^4\{f(x)-(-2k+c)\}dx=16k-\frac54k=\frac{59}4k\end{aligned}$2)$\displaystyle g(x)=g_1(x)$인 경우: $\displaystyle \int_3^4f^{\prime}(x)g(x)dx=\int_3^4h_1(f(x))f^{\prime}(x)dx=\int_{-2k+c}^{2k+c}h_1(x)dx=\frac{59}4k$$\displaystyle g(x)=g_2(x)$인 경우: $\displaystyle \int_3^4f^{\prime}(x)g(x)dx=\int_3^4h_2(f(x))f^{\prime}(x)dx=\int_{-2k+c}^{2k+c}h_2(x)dx=8k$따라서 $\displaystyle S=\frac{59}2k$ 또는 $\displaystyle \frac{91}4k$이다. $\displaystyle |f(2)-f(1)|=2k$이므로 제시문 (ㄱ)의 조건 (가)에서 $\displaystyle 10\leq2k\leq20$, 즉 $\displaystyle 5\leq k\leq10$이다. 그러므로 $\displaystyle M=\frac{59}2\times10=295,\;m=\frac{91}4\times5=\frac{455}4$이다.