약학과 1번

매 시행에서 흰 공을 3개 넣는 사건을 $\displaystyle W$, 검은 공을 2개 넣는 사건을 $\displaystyle B$라고 하자. 공을 꺼내지 않는 사건을 $\displaystyle U$, 흰 공을 하나 꺼내는 사건을 $\displaystyle V$, 검은 공 하나를 꺼내는 사건을 $\displaystyle A$라고 하자.제시문 (ㄴ)의 조건에서 $\displaystyle b_k$는 3의 배수 또는 약수이고, 최대 시행횟수가 10번까지임을 고려할 때, 검은 공의 개수 $\displaystyle b_k$로 가능한 값은 $\displaystyle 1,3,6,9,12,15,18$이다. 이 중 제시문 (ㄹ)의 확률 $\displaystyle p$는 $\displaystyle X=4$인 경우를, $\displaystyle q$는 $\displaystyle X\leq5$인 경우를 고려하므로, 고려해야 할 흰 공과 검은 공 개수의 순서쌍 조합은 $\displaystyle (3,1),(3,3),(3,6)$이다. $\displaystyle X\leq5$이고 사건 $\displaystyle U$는 공의 개수에 영향을 미치지 않으므로 사건 $\displaystyle U$를 제외하고 생각했을 때, 각 순서쌍이 나올 수 있는 사건의 조합은 다음과 같다. 이때, 사건 $\displaystyle A$는 이전 시행에서 사건 $\displaystyle B$가 일어난 후에만 가능하다.$\displaystyle \begin{array}{|c|c|}\hline(1)&WBA\\\hline(2)&WBBA\\\hline(3)&WBBB\\\hline\end{array}$

(1) 사건 $\displaystyle W,B,A$가 각각 한 번씩 일어나는 경우사건의 순서가 $\displaystyle WBA,BWA$인 경우 $\displaystyle \frac16\times\frac12\times\frac13\times\frac25$의 확률을 가지며, $\displaystyle BAW$인 경우 확률이 $\displaystyle \frac12\times\frac13\times\frac22\times\frac16$이다. 따라서 (1)의 확률은 $\displaystyle \left[2\times\left(\frac16\times\frac12\times\frac13\times\frac25\right)+\left(\frac12\times\frac13\times\frac22\times\frac16\right)\right]=\frac1{20}$이다.

[확률 $\displaystyle p$의 계산]확률 $\displaystyle p$는 $\displaystyle X=4$일 확률이므로, 첫 사건으로 먼저 $\displaystyle U$가 일어난 후 (1)의 경우가 일어나거나 ($\displaystyle UWBA,UBWA,UBAW$), (2), (3)이 일어나는 경우이다. 따라서, 제시문 (ㄹ)의 확률 $\displaystyle p$는 위에서 계산한 세 개의 확률의 합이다.$\displaystyle \frac13\times\frac1{20}+\frac{13}{252}+\frac1{12}=\frac{191}{1260}$

[확률 $\displaystyle q$ 계산]제시문 (ㄹ)에 제시된 총 시행 횟수의 조건 $\displaystyle X\leq5$를 고려할 때, $\displaystyle X=3$일 확률은 (1)에서 구한 $\displaystyle \frac1{20}$이다.$\displaystyle X=5$일 확률은 크게 세 가지로 나누어서 생각할 수 있다.① 첫 사건으로 먼저 $\displaystyle U$가 두 번 일어난 후 (1)에서 고려한 사건의 조합이 일어나는 경우$\displaystyle (UUWBA,UUBWA,UUBAW)$② 첫 사건으로 먼저 $\displaystyle U$가 한 번 일어난 후 (2)에서 고려한 사건의 조합이 일어나는 경우$\displaystyle (UBABW,UBBAW,UWBBA,UBWBA,UBBWA)$③ 첫 사건으로 먼저 $\displaystyle U$가 한 번 일어난 후 (3)에서 고려한 사건의 조합이 일어나는 경우$\displaystyle (UWBBB,UBWBB,UBBWB,UBBBW)$따라서 $\displaystyle X\leq5$일 확률은 다음과 같다.$\displaystyle \frac1{20}\times\left(1+\frac13+\frac13\times\frac13\right)+\frac{13}{252}\times\left(1+\frac13\right)+\frac1{12}\times\left(1+\frac13\right)=\frac{13}{180}+\frac{13}{189}+\frac19$따라서 조건부 확률 $\displaystyle q$는 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \frac{\frac1{20}}{\frac{13}{180}+\frac{13}{189}+\frac19}=\frac{189}{953}$