의예과 3번

각 범위에 맞는 $\displaystyle x$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$의 값을 극한을 이용하여 다음과 같이 계산한다.(i) $\displaystyle x>1$이면,$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3ae^{x+1}x^{2n}}{3x^{2n}+1}+\frac{2(x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots+x+1)}{2x^{2n}+1}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{ae^{x+1}}{1+\frac1{3x^{2n}}}+\frac{\frac1x+\frac1{x^2}+\cdots+\frac1{x^{2n}}}{1+\frac1{2x^{2n}}}\right)\\&=ae^{x+1}+\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac1{x^k}=ae^{x+1}+\frac1{x-1}\end{aligned}$즉, $\displaystyle f(x)=ae^{x+1}+\frac1{x-1}\quad(x>1)$이다.(ii) $\displaystyle |x|<1$이면,$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3ae^{x+1}x^{2n}}{3x^{2n}+1}+\frac{2(x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots+x+1)}{2x^{2n}+1}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{2(x^{2n}-1)}{(2x^{2n}+1)(x-1)}=\frac2{1-x}.$(iii) $\displaystyle x=-1$일 경우에는 $\displaystyle f(-1)=\frac34a$이다.(i), (ii), (iii)을 종합하면, 제시문 (ㄴ)의 (가) 조건에서 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=-1$에서 연속이므로$\displaystyle \lim_{x\to-1+}f(x)=1,\;\lim_{x\to-1-}f(x)=a+b,\;f(-1)=\frac34a$의 값이 일치하고, $\displaystyle a=\frac43,\;b=-\frac13$이다. (나) 조건에서는 $\displaystyle x$가 $\displaystyle -1$부터 $\displaystyle 1$까지 변할 때 $\displaystyle f(x)$의 평균변화율이 $\displaystyle \frac12$이므로 $\displaystyle c=2$이다.

(1) $\displaystyle p>1$일 때, $\displaystyle 1$과 $\displaystyle p$ 사이의 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=\frac43e^{x+1}+\frac1{x-1}$이다.점 $\displaystyle (1,f(1))$에서 함수 $\displaystyle y=f(x)$에 그은 접선의 접점을 $\displaystyle (t,f(t))$라 하면 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\left(\frac43e^{t+1}-\frac1{(t-1)^2}\right)(x-t)+\frac43e^{t+1}+\frac1{t-1}$이고 $\displaystyle 2=\frac43(2-t)e^{t+1}+\frac2{t-1}$이므로 정리하면 $\displaystyle \left(\frac43e^{t+1}+\frac2{t-1}\right)(2-t)=0$, 즉 $\displaystyle t=2$이다. 이때, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac43e^{x+1}+\frac2{(x-1)^3}>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 증가함수이다.이제 점 $\displaystyle (1,f(1))$부터 $\displaystyle (p,f(p))$까지 선분을 그려보면 그래프의 개형으로부터 $\displaystyle p\leq2$인 경우 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 두 끝점에서만 만나고, $\displaystyle p>2$인 경우 교점이 하나 더 존재하게 되므로 $\displaystyle 1$과 $\displaystyle 2$ 사이의 값 $\displaystyle q$에 대해 $\displaystyle (q,f(q))$에서도 만난다. 즉, $\displaystyle p>2$이면 평균값정리에 의해 $\displaystyle q$와 $\displaystyle p$사이에 $\displaystyle \frac{f(p)-f(1)}{p-1}=\frac{f(p)-f(q)}{p-q}=f^{\prime}(r)$을 만족시키는 $\displaystyle r$이 있으므로 $\displaystyle p>2$이면 집합 $\displaystyle A$에 속할 수 없다. 반대로 두 끝점에서만 만날 경우 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 증가하므로 $\displaystyle f^{\prime}(r)$은 선분의 기울기보다 항상 작게 되고, $\displaystyle 1<p\leq2$이면 집합 $\displaystyle A$에 속한다.

(2) $\displaystyle -1\leq p<1$일 때, 함수 $\displaystyle y=\frac2{1-x}$는 $\displaystyle x=-1$에서의 미분계수가 $\displaystyle \frac12$이고 증가함수이다. 따라서 두 점 $\displaystyle (-1,1)$와 $\displaystyle (1,2)$를 지나는 직선은 함수 $\displaystyle y=\frac2{1-x}$와 $\displaystyle x=-1$에서 접한다. 즉, $\displaystyle x$가 $\displaystyle p$부터 $\displaystyle 1$까지 변할 때 함수 $\displaystyle f(x)$의 평균변화율은 $\displaystyle \frac12$이하이다. $\displaystyle p$와 $\displaystyle 1$사이의 $\displaystyle r$은 $\displaystyle f^{\prime}(r)>\frac12$이므로 평균변화율과 $\displaystyle f^{\prime}(r)$이 일치할 수 없다. 즉, $\displaystyle -1\leq p<1$이면 $\displaystyle A$에 속한다.

(3) $\displaystyle p<-1$일 때, $\displaystyle p$와 $\displaystyle 1$ 사이의 $\displaystyle r$에 대하여 가능한 모든 $\displaystyle \lim_{x\to r+}\frac{f(x)-f(r)}{x-r}$의 값을 생각해보면$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f^{\prime}(x)=-\infty,\quad\lim_{x\to-1-}f^{\prime}(x)=-\frac83,\quad\lim_{x\to-1+}f^{\prime}(x)=\frac12,\quad\lim_{x\to1-}f^{\prime}(r)=\infty$이고 $\displaystyle \lim_{x\to r+}\frac{f(x)-f(r)}{x-r}$은 $\displaystyle r$이 커짐에 따라 항상 증가하므로 $\displaystyle -\frac83$이상 $\displaystyle \frac12$미만의 평균변화율은 $\displaystyle \lim_{x\to r+}\frac{f(x)-f(r)}{x-r}$과 일치할 수 없다. 먼저, $\displaystyle f(p)>1$이므로 평균변화율은 모두 $\displaystyle \frac12$미만이다. 점 $\displaystyle (1,f(1))$에서 기울기 $\displaystyle -\frac83$에 해당하는 직선 $\displaystyle y=-\frac83(x-1)+2$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 교점을 $\displaystyle (s,f(s))$라 하면 $\displaystyle \frac43s^2-\frac13=-\frac83(s-1)+2$이므로 $\displaystyle 4s^2+8s-15=0$이고, $\displaystyle s<-1$인 범위에서는 $\displaystyle s=-1-\frac{\sqrt{19}}2$이다. 따라서 $\displaystyle -1-\frac{\sqrt{19}}2\leq p<-1$인 경우에는 $\displaystyle A$에 속한다.Correction. 이 극한은 $\displaystyle \lim_{x\to1-}f^{\prime}(x)=\infty$이다. 원문의 $\displaystyle f^{\prime}(r)$은 극한의 변수 $\displaystyle x$와 다른 문자를 쓴 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle p<-1-\frac{\sqrt{19}}2$이면 $\displaystyle \frac{f(1)-f(p)}{1-p}<-\frac83$이고, 그래프의 개형에 따르면 $\displaystyle f^{\prime}(p)<\frac{f(1)-f(p)}{1-p}$이다. 이때, 함수 $\displaystyle g(x)=\frac43x^2-\frac13$에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(p)=f^{\prime}(p)$이고 $\displaystyle g^{\prime}(-1)=-\frac83,\;g^{\prime}(x)$는 연속이므로 사잇값의 정리에 따르면 $\displaystyle p$와 $\displaystyle -1$사이에 $\displaystyle f^{\prime}(r)=g^{\prime}(r)=\frac{f(1)-f(p)}{1-p}$인 $\displaystyle r$이 존재하며, 따라서 $\displaystyle p$는 $\displaystyle A$에 속하지 않는다.

(1), (2)를 종합하면 $\displaystyle A=\left\{p\mid-1-\frac{\sqrt{19}}2\leq p<1,\;1<p\leq2\right\}$이다.