자연계열 2번

$\displaystyle g(x)$는 삼차함수이고 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle y=1,y=-1$가 각각 두 점에서 만나므로 삼차함수 $\displaystyle g(x)$의 극값은 $\displaystyle 1$과 $\displaystyle -1$이고, 곡선 $\displaystyle y=g(x)$는 직선 $\displaystyle y=1,y=-1$와 각각 접한다.

$\displaystyle g(x)$의 최고차항의 계수 $\displaystyle a$가 양수라고 하면$\displaystyle 1$이 극댓값이고 $\displaystyle g(\alpha)=g(1)=1,\;\alpha<1$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(\alpha)=0$이다.또한, $\displaystyle -1$이 극솟값이고 $\displaystyle g(-1)=g(\beta)=-1,\;-1<\beta$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(\beta)=0$이다.따라서 닫힌구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$에서 $\displaystyle g(x)$는 감소하고 $\displaystyle g(-1)=g(\beta)=-1,\;-1<\beta$이므로 $\displaystyle -1<\alpha$이다.이는 문제의 조건, $\displaystyle \alpha<-1$에 위배 되므로 $\displaystyle a<0$이다.

그러므로 $\displaystyle g(\alpha)=g(1)=1,\;g^{\prime}(1)=0,\;g(-1)=g(\beta)=-1,\;g^{\prime}(-1)=0$이다.

따라서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=3a(x^2-1)$, 즉, $\displaystyle g(x)=a(x^3-3x)+b$이고,$\displaystyle g(-1)=-1,\;g(1)=1$이므로 $\displaystyle 2a+b=-1,\;-2a+b=1$이다.따라서 $\displaystyle a=-\frac12,\;b=0$이고 $\displaystyle g(x)=-\frac12(x^3-3x)$이다.

삼차함수 $\displaystyle h(x)=f(x)-x^2-cx-c$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=h(x)$와 직선 $\displaystyle y=0$는 두 점에서 만나고 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표가 각각 $\displaystyle t,2$이므로$\displaystyle h(x)=-\frac12(x-t)^2(x-2)$ 또는 $\displaystyle h(x)=-\frac12(x-t)(x-2)^2$이다.

1) $\displaystyle h(x)=-\frac12(x-t)^2(x-2)$:$\displaystyle -\frac12(x-t)^2(x-2)=-\frac12\left(x^3-2(t+1)x^2+(t^2+4t)x-2t^2\right)$이므로$\displaystyle t+1=-1,\;t^2=-c,\;k-c+\frac32=-\frac12(t^2+4t)$이다. 즉, $\displaystyle t=-2,\;c=-4,\;k=-\frac72$이다.

2) $\displaystyle h(x)=-\frac12(x-t)(x-2)^2$:$\displaystyle -\frac12(x-t)(x-2)^2=-\frac12\left(x^3-(t+4)x^2+4(t+1)x-4t\right)$이므로$\displaystyle \frac{t+4}{2}=-1,\;c=-2t,\;k-c+\frac32=-2(t+1)$이다. 즉, $\displaystyle t=-6,\;c=12,\;k=\frac{41}{2}$이다.

$\displaystyle k>0$이므로 $\displaystyle c=12$이다.