자연계열 I 3번

중앙대 2012학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2012su/jayeon1_3

(나) 생물의 개체 발생 과정 동안 한 개의 수정란은 분열과 분화의 복잡한 과정을 거쳐 조직의 기능을 수행하기에 적합한 특정 형태의 세포들로 변환된다. 예를 들어, 신경 조직 세포의 경우 복잡한 자극을 효과적으로 처리하기 위해 세포 주위에 많은 돌기들이 나와 있다. 또한, 골격 근육 조직 세포는 수축성 단백질이 일렬로 배열된 특수한 형태의 섬유모양 세포들로 구성되어 수축 기능을 담당하기에 적합한 구조로 되어 있다. 이와 같이 조직의 기능에 따라 달라지는 세포의 형태적 특성은 세포 주위 환경과 상호작용에 의하여 형성된 세포의 장력과 세포 자체에서 분비된 신호 전달 물질의 농도에 따라 조절된다.

그림 (3)은 수축력을 증가시키는 활성 인자의 농도와 세포의 장력 변화에 따라 동일한 세포가 평면상에서 서로 다른 모양으로 변화되는 양상을 보여주는 모식도이다. 이와 같이 서로 다른 모양을 가진 세포는 결국 각각의 특수한 생리적 기능을 담당하게 된다.

[문제 3] 제시문 (나)에서 설명된, 수축 활성 인자의 농도와 장력에 따라 다른 형태로 변환되는 세포들이 밑면이 정사각형(100mm×100mm)인 배양접시에 담겨있다. 세포의 형태 결정 조건을 한 번의 실험으로 알아내기 위해, 배양접시의 가로와 세로 방향으로 각각 그림 (a), (b)와 같이 활성 인자의 농도와 장력에 변화를 주었다. 그 결과, 배양접시 위에 균일하게 퍼져있던 세포들은 그림 (c)와 같이 네 영역으로 구분되어 서로 다른 특정 형태의 세포로 변환되었다. 배양접시의 가로 방향을 x축, 세로 방향을 y축이라 할 때, 네 영역으로 구분하는 두 직선의 식은 각각 $\displaystyle y_1=2x-50$ , $\displaystyle y_2=0.5x+25$ 이었다.

이 배양접시에 $\displaystyle 10^4$ 개의 세포가 균일하게 퍼져있고, 세로 방향의 장력 변화는 그림 (b)와 동일하나, 가로 방향의 활성 인자 농도 변화가 주위 환경으로 인해 그림 (d)와 같이 2차 곡선의 형태로 변했을 때, 그림 (c)의 A 영역에 속할 세포의 수를 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오. [20점]

해설강의 준비중

곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이

관련 개념강의 준비중

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농도를 T라 하면 x축과 T와의 관계는 그림 (a)에서 아래와 같다.

$\displaystyle T=10^{-2}x\qquad(1)$

$\displaystyle y_1$ 과 $\displaystyle y_2$ 의 원래 식의 x에 식 (1)을 대입하면 아래와 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}y_1&=2\cdot10^2T-50\\y_2&=0.5\cdot10^2T+25\end{aligned}\qquad(2)$

문제에서 농도 T와 x축 사이의 관계가 아래와 같이 재설정 되었다.

$\displaystyle T=10^{-4}x^2\qquad(3)$

+10점 · 변환된 두 곡선

식 (2)에 식 (3)을 대입하면 $\displaystyle y_1$ 과 $\displaystyle y_2$ 는 다음과 같이 변환된다.

$\displaystyle \begin{aligned}y_1&=\frac{x^2}{50}-50\\y_2&=\frac{x^2}{200}+25\end{aligned}\qquad(4)$

+4점 · 교점

$\displaystyle y_1$ 과 $\displaystyle y_2$ 의 교차점을 구하면

$\displaystyle \begin{aligned}y_1&=y_2\\\frac{x^2}{50}-50&=\frac{x^2}{200}+25\\\frac{3x^2}{200}&=75\\x&=50\sqrt2\end{aligned}$

$\displaystyle y_1$ 가 x축과 교차하는 점은 (50,0)이다.

+2점 · 넓이의 적분식

따라서 A영역의 면적은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^{50}y_2\,dx+\int_{50}^{50\sqrt2}(y_2-y_1)\,dx\\&=\int_0^{50}\left(\frac{x^2}{200}+25\right)dx\\&\quad+\int_{50}^{50\sqrt2}\left(\frac{x^2}{200}+25-\frac{x^2}{50}+50\right)dx\\&=\Biggl[\frac{x^3}{600}+25x\Biggr]_0^{50}+\Biggl[\frac{-3x^3}{600}+75x\Biggr]_{50}^{50\sqrt2}\\&=2500\left(\sqrt2-\frac23\right)\simeq1868.9\end{aligned}$

+4점 · 세포 수 계산

전체 영역이 $\displaystyle 10^4\mathrm{mm}^2$ 에 $\displaystyle 10^4$ 개의 세포가 균일하게 퍼져 있으므로, 영역 A에는 1868개의 세포가 있다.

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