자연계열 I 3번

농도를 T라 하면 x축과 T와의 관계는 그림 (a)에서 아래와 같다.

$\displaystyle T=10^{-2}x\qquad(1)$

$\displaystyle y_1$과 $\displaystyle y_2$의 원래 식의 x에 식 (1)을 대입하면 아래와 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}y_1&=2\cdot10^2T-50\\y_2&=0.5\cdot10^2T+25\end{aligned}\qquad(2)$

문제에서 농도 T와 x축 사이의 관계가 아래와 같이 재설정 되었다.

$\displaystyle T=10^{-4}x^2\qquad(3)$

$\displaystyle \begin{aligned}y_1&=\frac{x^2}{50}-50\\y_2&=\frac{x^2}{200}+25\end{aligned}\qquad(4)$

$\displaystyle \begin{aligned}y_1&=y_2\\\frac{x^2}{50}-50&=\frac{x^2}{200}+25\\\frac{3x^2}{200}&=75\\x&=50\sqrt2\end{aligned}$

$\displaystyle y_1$가 x축과 교차하는 점은 (50,0)이다.

$\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^{50}y_2\,dx+\int_{50}^{50\sqrt2}(y_2-y_1)\,dx\\&=\int_0^{50}\left(\frac{x^2}{200}+25\right)dx\\&\quad+\int_{50}^{50\sqrt2}\left(\frac{x^2}{200}+25-\frac{x^2}{50}+50\right)dx\\&=\Biggl[\frac{x^3}{600}+25x\Biggr]_0^{50}+\Biggl[\frac{-3x^3}{600}+75x\Biggr]_{50}^{50\sqrt2}\\&=2500\left(\sqrt2-\frac23\right)\simeq1868.9\end{aligned}$