자연계열 I 5번

(나) 생물의 개체 발생 과정 동안 한 개의 수정란은 분열과 분화의 복잡한 과정을 거쳐 조직의 기능을 수행하기에 적합한 특정 형태의 세포들로 변환된다. 예를 들어, 신경 조직 세포의 경우 복잡한 자극을 효과적으로 처리하기 위해 세포 주위에 많은 돌기들이 나와 있다. 또한, 골격 근육 조직 세포는 수축성 단백질이 일렬로 배열된 특수한 형태의 섬유모양 세포들로 구성되어 수축 기능을 담당하기에 적합한 구조로 되어 있다. 이와 같이 조직의 기능에 따라 달라지는 세포의 형태적 특성은 세포 주위 환경과 상호작용에 의하여 형성된 세포의 장력과 세포 자체에서 분비된 신호 전달 물질의 농도에 따라 조절된다.

그림 (3)은 수축력을 증가시키는 활성 인자의 농도와 세포의 장력 변화에 따라 동일한 세포가 평면상에서 서로 다른 모양으로 변화되는 양상을 보여주는 모식도이다. 이와 같이 서로 다른 모양을 가진 세포는 결국 각각의 특수한 생리적 기능을 담당하게 된다.

(마) 일차변환 $\displaystyle T:(x,y)\to(ax+by,cx+dy)$를 행렬로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

위 식에서 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$라 하고 $\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}$가 존재한다고 하면, 아래의 식이 성립한다.

$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}$

점 (x,y)가 직선 $\displaystyle \alpha x+\beta y+\gamma=0$ 위의 점일 때, $\displaystyle x=ex^{\prime}+fy^{\prime}$, $\displaystyle y=gx^{\prime}+hy^{\prime}$를 대입하여 정리하면 $\displaystyle (\alpha e+\beta g)x^{\prime}+(\alpha f+\beta h)y^{\prime}+\gamma=0$을 얻는다. 따라서 점 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$는 다음 직선 위의 점이다.

$\displaystyle (\alpha e+\beta g)x+(\alpha f+\beta h)y+\gamma=0$

이와 같이, 역변환을 갖는 일차변환은 직선을 직선으로 옮긴다.

네 개의 정수 p, q, r, s를 성분으로 하는 행렬 $\displaystyle B=\begin{pmatrix}p&r\\q&s\end{pmatrix}$에 의한 일차변환을 S, B의 역행렬 $\displaystyle B^{-1}=\begin{pmatrix}s&-r\\-q&p\end{pmatrix}$에 의한 일차변환을 $\displaystyle S^{-1}$라 하면 다음이 성립함을 알 수 있다. 단, $\displaystyle ps-qr=1$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}S:(1,0)&\to(p,q)\\S:(0,1)&\to(r,s)\\S^{-1}:(p,q)&\to(1,0)\\S^{-1}:(r,s)&\to(0,1)\end{aligned}$

$\displaystyle L=\{(x,y)\mid x,y\text{는 정수}\}$라고 하자. 행렬 B와 $\displaystyle B^{-1}$의 모든 성분이 정수이므로 S(또는 $\displaystyle S^{-1}$)의 정의역을 L로 제한하면 L에서 L로의 일대일대응을 얻는다. 역변환을 갖는 일차변환은 직선을 직선으로 옮기므로, 네 점 (0,0), (np,nq), (mr,ms), (np+mr,nq+ms)을 꼭짓점으로 갖는 평행사변형은 $\displaystyle S^{-1}$에 의해서 네 점 (0,0), (n,0), (0,m), (n,m)을 꼭짓점으로 갖는 직사각형으로 옮겨진다. 여기서, n, m은 임의의 정수이다.