자연계열 I 5번

중앙대 2012학년도 수시 자연계열 I 5번 · mathesis.kr/archive/cau/2012su/jayeon1_5

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중앙대 2012학년도 수시 자연계열 I 5번 · mathesis.kr/archive/cau/2012su/jayeon1_5

+3점 · 꼭짓점 분해

문제의 표1에서 주어진 꼭짓점 2, 3, 4에 대해서 다음을 확인할 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}(65,39)&=(13\times5,13\times3)\\(91,56)&=(7\times13,7\times8)\\(156,95)&=(13\times5+7\times13,13\times3+7\times8)\end{aligned}$

+3점 · 역행렬

p=5, q=3, r=13, s=8라 놓으면, ps−qr=1이 성립한다. 따라서 행렬

$\displaystyle \begin{pmatrix}p&r\\q&s\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}8&-13\\-3&5\end{pmatrix}$

+5점 · 도형의 일차변환

로 결정되는 일차변환 T는 네 점 (0,0), (65,39), (91,56), (156,95)를 각각 (0,0), (13,0), (0,7), (13,7)로 옮긴다.

+6점 · 내부 격자점의 일대일대응

T의 정의역을 $\displaystyle L=\{(x,y)\mid x,y\text{는 정수}\}$ 로 제한하면 T는 L에서 L로의 일대일대응이다. 네 점 (0,0), (65,39), (91,56), (156,95)로 결정되는 평행사변형을 P, 네 점 (0,0), (13,0), (0,7), (13,7)로 결정되는 직사각형을 R이라 하고, P(또는 R)의 경계를 제외한 안쪽 부분을 P(또는 R)의 내부라 하자. 그러면 P의 내부에 있는 L의 점은 일차변환 T에 의해 R의 내부에 있는 L의 점으로 일대일 대응된다.

+3점 · 격자점 수

R의 내부에 있는 L의 점 개수는 $\displaystyle (7-1)\times(13-1)=6\times12=72$ 개이다. 따라서 P의 내부에 있는 L의 점 개수는 72개이다.

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