자연계열 I 4번

(다) 수 세기 동안 입자 모형과 파동 모형이라는 빛에 대한 두 개의 모형이 있었다. 뉴턴은 빛의 입자 모형을 믿었다. 그는 빛을 속력이 대단히 빠른 작은 입자들로 이루어졌다고 생각하였다. 한편 호이겐스는 빛이 파동 현상이라고 믿었다. 뉴턴과 호이겐스 이후 백 년도 더 지나서 영이 빛의 간섭 실험을 함으로써 파동 모형이 더 활발하게 주장되었다. 나중에 맥스웰은 빛이 전자기파의 일부분이라고 제안하였다. 헤르츠가 맥스웰이 예측하였던 성질을 가진 전파를 만들어 내었을 때 파동 모형은 더 큰 지지를 얻게 되었다. 파동으로 보았을 때 빛은 다음과 같은 특징이 있다.

첫째, 파동이 전달하는 에너지는 진폭의 제곱과 진동수의 제곱에 비례한다.

둘째, 빛의 진폭, 즉 빛의 세기는 빛의 밝기에 따라 달라지고, 빛의 진동수는 빛의 색깔에 따라 달라진다.

1887년 헤르츠는 아연 표면에 자외선을 쪼였을 때 전자들이 방출되는 현상을 발견하였다. 이와 같이 물질에 빛을 쪼였을 때 전자가 튀어나오는 현상을 광전 효과라고 하며, 이 때 금속 표면에서 튀어나오는 전자를 광전자라고 한다. 정밀한 실험에 의한 광전 효과의 실험 결과를 분석하여 알아낸 광전 효과의 특징은 다음과 같다

첫째, 쪼인 빛의 진동수가 어떤 특정한 값보다 작으면 매우 센 빛을 쪼여도 전자는 튀어나오지 않는다.

둘째, 세기가 매우 약한 빛이라도 진동수가 한계 진동수보다 크면 광전자는 빛을 쪼이자마자 튀어나온다.

셋째, 금속 표면에서 튀어나오는 광전자의 최대 운동 에너지는 빛의 세기에는 관계 없고, 빛의 진동수에만 관계된다.

넷째, 같은 진동수의 빛을 쪼일 경우에 튀어나오는 광전자의 수는 빛의 세기에 비례한다.

아인슈타인은 플랑크가 열복사 현상을 설명하며 제안한 에너지 양자의 개념을 광전 효과에 도입하여, 빛은 연속적인 파동이 아니라 광자라고 불리는 불연속적인 에너지 입자의 흐름이며, 진동수 f인 광자가 가지는 에너지 E는

$\displaystyle E=hf$

라고 설명하였다. 위의 식에서 h는 플랑크상수이다.

(라) 주사위나 동전을 여러 번 던지는 것과 같이 어떤 시행을 되풀이할 때, 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않을 경우, 즉 매회 일어나는 사건이 서로 독립일 때, 이와 같은 시행을 독립시행이라고 한다. 사건 A가 일어날 확률을 p라고 할 때, N회의 독립시행에서 사건 A가 n회 일어날 확률은 다음과 같다.

$\displaystyle {}_N\mathrm C_n p^n(1-p)^{N-n}=\frac{N!}{n!(N-n)!}p^n(1-p)^{N-n}$

독립시행의 확률은 평균값에 적용될 수도 있다. 예를 들어, T시간 동안 평균적으로 m번 발생하는 사건이 있다고 가정하자. T시간을 N등분한 T/N시간 동안 이 사건이 한 번 발생할 확률은 m/N으로 볼 수 있으며, T시간 동안 이 사건이 n번 발생할 확률 p(n)은 독립시행의 확률을 이용하여 표현하면 다음과 같다.

$\displaystyle p(n)=\frac{N!}{n!(N-n)!}\left(\frac mN\right)^n\left(1-\frac mN\right)^{N-n}$

위의 식에서 $\displaystyle N\to\infty$이면, p(n)은 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle \begin{aligned}p(n)&=\lim_{N\to\infty}\frac{N!}{(N-n)!N^n}\left(1-\frac mN\right)^{N-n}\frac{m^n}{n!}\\&=\frac{m^n}{n!}e^{-m}\end{aligned}$

단, $\displaystyle e=2.71828\cdots$은 자연로그의 밑이다.