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자연계열 II 1번

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중앙대 2015학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2015su/jayeon2_1

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문제

[문제 1] 50m 전방에 한 변의 길이가 8m인 정사각형의 과녁이 있고, 정사각형의 중심을 기준으로 각각 반지름이 1m, 2m, 3m인 원판 A, B, C가 있다. 한 개의 화살을 쏘아 원판 A에 맞힐 경우 10만 원의 상금을, 원판 A를 제외한 원판 B에 맞힐 경우 5만 원의 상금을, 원판 B를 제외한 원판 C에 맞힐 경우 3만 원의 상금을 받는다고 하자. 원판 C를 제외한 과녁에 맞힐 경우에는 상금이 없다. 이 게임의 참가비가 x\displaystyle x만 원일 때, 상금에서 참가비를 뺀 이익의 기댓값이 0 이상이기 위한 x\displaystyle x의 최댓값을 구하시오. 단, 화살은 언제나 과녁 안에 맞으며, 과녁 안의 모든 부분에 같은 확률로 맞는다. [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2015학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2015su/jayeon2_1

+5점 · A. 확률 및 기댓값에 대한 개념적 이해: i. 3가지 과녁의 확률값 계산을 시도함: 3점 ii. 관련 확률과 상금을 곱하는 시도를 함: 2점
+10점 · B. 상대적 넓이와 확률과의 관련성: i. 각 과녁의 넓이를 정사각형 넓이로 나눔: 5점 ii. 한 원판에 포함되어 있는 다른 원판의 넓이를 제외함: 5점

● 기대할 수 있는 상금은 세가지 종류(10만원, 5만원, 3만원)가 있고, 이들에 대한 확률은 각각 해당 과녁의 (전체 정사각형 과녁의 넓이에 대한) 상대적 넓이로 계산할 수 있다. 따라서, 기대 상금은10×π64+5×π(4−1)64+3×π(9−4)64=4064π=58π\displaystyle 10×\fracπ{64}+5×\frac{π(4-1)}{64}+3×\frac{π(9-4)}{64}=\frac{40}{64}π=\frac58π

+5점 · C. 상금에서 참가비를 뺀 이익이 0 이상이어야 함을 고려

● 따라서, 상금에서 참가비를 뺀 이익의 기댓값은, 5π/8\displaystyle 5π/8이므로 기댓값이 0 이상이기 위한 x\displaystyle x의 최댓값은 5π/8\displaystyle 5π/8(만원)이다. 참고: 5π/8\displaystyle 5π/8(만원) = 약 19,634원.Correction. 대학 예시답안에서 이익의 기댓값으로 적힌 5π8\displaystyle \frac{5\pi}{8}은 5π8−x\displaystyle \frac{5\pi}{8}-x의 오기이다. 참가비 x\displaystyle x를 빼야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

● 다음과 같이 기대이익을 한꺼번에 계산할 수도 있다.(10−x)×π64+(5−x)×π(4−1)64+(3−x)×π(9−4)64+(0−x)×64−9π64=10×π64+5×π(4−1)64+3×π(9−4)64−x=58π−x∴58π≥x\displaystyle \begin{aligned}&(10-x)×\fracπ{64}+(5-x)×\frac{π(4-1)}{64}+(3-x)×\frac{π(9-4)}{64}+(0-x)×\frac{64-9π}{64}\\&=10×\fracπ{64}+5×\frac{π(4-1)}{64}+3×\frac{π(9-4)}{64}-x=\frac58π-x\quad\therefore\frac58π\ge x\end{aligned}

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 −0.5~+0.5점 추가 점수 부여 가능함.

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