자연계열 I 3번

중앙대 2015학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2015su/jayeon1_3

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오.

아래 왼쪽 그림에서 원을 포함하는 평면 $\displaystyle m$ 과 이 평면의 $\displaystyle x$ 축을 공유하는 평면 $\displaystyle n$ 이 있고, 두 평면이 이루는 각이 $\displaystyle α$ 이다. 평면 $\displaystyle m$ 위의 원을 평면 $\displaystyle n$ 위에 정사영하면 타원이 되고, 이 타원의 넓이는 원의 넓이에 $\displaystyle \cos α$ 를 곱한 것과 같다. 평면 $\displaystyle m$ 위에 반지름이 $\displaystyle a$ 이며, 중심이 원점인 원이 있을 때, 이 원 위의 점 P의 좌표 $\displaystyle (x,y)$ 는 다음과 같다. $\displaystyle x=a\cos θ,\ y=a\sin θ,\ 0\le θ<2π$

여기서 $\displaystyle θ$ 는 원점과 점 P를 연결한 선이 $\displaystyle x$ 축과 이루는 양의 각도이다. 이 원을 평면 $\displaystyle n$ 위에 정사영하면 장축의 길이가 $\displaystyle 2a$ 이고, 단축의 길이가 $\displaystyle 2b$ 인 타원이 된다. 이때 $\displaystyle \cos α=b/a$ 이다. 원 위의 점 P는 타원 위의 점 P′로 정사영되고, 타원을 포함하는 평면 $\displaystyle n$ 의 좌표계에서 P′의 좌표 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$ 는 다음과 같다. $\displaystyle x^{\prime}=a\cos θ,\ y^{\prime}=b\sin θ,\ 0\le θ<2π$

평면 $\displaystyle m$ 위의 좌표계와 평면 $\displaystyle n$ 위의 좌표계를 일치시켜 타원과 원의 관계를 나타내면 아래 오른쪽 그림과 같다.

[문제 3-1] 제시문에서 $\displaystyle φ$ 는 선분 OP′이 $\displaystyle x$ 축과 이루는 양의 각도이다. 제시문에 근거하여 P′의 좌표 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})=(a\cos θ,b\sin θ)$ 를 $\displaystyle \tan φ$ 로 나타내시오. 단, $\displaystyle 0\le φ<π/2$ 이다. [10점]

[문제 3-2] 제시문에 주어진 타원의 장축의 길이가 $\displaystyle 2\sqrt3$ , 단축의 길이가 2, $\displaystyle φ=π/4$ 일 때, 제시문에 근거하여 부채꼴 QOP′의 면적을 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2015학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2015su/jayeon1_3

수학 문제 3-1 예시 답안

+2점 · [3-1] 식 ❶을 제시하면

● $\displaystyle \tan φ=\frac{y^{\prime}}{x^{\prime}}=\frac{b\sin θ}{a\cos θ}=\frac ba\tan θ$ ❶

● $\displaystyle \tan θ=\frac ab\tan φ$

● $\displaystyle \sec^2θ-\tan^2θ=1$

+3점 · [3-1] 식 ❷를 제시하면

● $\displaystyle \cos θ=±\frac1{\sqrt{1+\tan^2θ}}=±\frac1{\sqrt{1+(\frac ab)^2\tan^2φ}}$ ❷

● $\displaystyle \sin^2θ+\cos^2θ=1$

+3점 · [3-1] 식 ❸을 제시하면

● $\displaystyle \sin θ=±\sqrt{\frac{\tan^2θ}{1+\tan^2θ}}=±\frac{\frac ab\tan φ}{\sqrt{1+(\frac ab)^2\tan^2φ}}$ ❸

+2점 · [3-1] 식 ❹를 제시하면

● $\displaystyle 0\le θ<π/2$ 일 때, $\displaystyle \mathrm P^{\prime}=(a\cos θ,b\sin θ)=\left(\frac a{\sqrt{1+(\frac ab)^2\tan^2φ}},\frac{a\tan φ}{\sqrt{1+(\frac ab)^2\tan^2φ}}\right)$ ❹

수학 문제 3-2 예시 답안

+5점 · [3-2] 식 ❶을 제시하면

● $\displaystyle φ=π/4$ 일 때, 원에서의 각도 $\displaystyle θ$ 를 구하면 다음과 같다. $\displaystyle \tan φ=\frac{b\sin θ}{a\cos θ}=\frac ba\tan θ,\tan(π/4)=\frac1{\sqrt3}\tan θ\quad θ=π/3$ ❶

+5점 · [3-2] 식 ❷를 제시하면

● 반지름이 $\displaystyle a$ 인 원에서, 중심각이 $\displaystyle θ$ 인 부채꼴의 넓이는 다음과 같다. $\displaystyle S=a^2π\fracθ{2π}$ ❷

+5점 · [3-2] 식 ❸을 제시하면

● 이 부채꼴을 타원의 평면 위로 정사영하면, 정사영된 부채꼴의 넓이는 제시문에 근거하여 다음과 같이 구할 수 있다. $\displaystyle S^{\prime}=S\cos α=S\frac ba=a^2π\fracθ{2π}\frac ba=\frac{ab}2θ$ ❸

+5점 · [3-2] 식 ❷를 제시하면

Correction. [3-2] 채점기준의 네 번째 항목에서 식 ❷는 식 ❹의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

● $\displaystyle a=\sqrt3,b=1,θ=π/3$ 을 입력하면 다음과 같다. $\displaystyle S^{\prime}=\frac{\sqrt3}2\fracπ3=\frac{\sqrt3π}6$ ❹

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 1~3점 부여 가능.

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