자연계열 II 2번

● $\displaystyle α=\lim_{n\to∞}a_n$이라 하면 $\displaystyle α$는 순환소수 $\displaystyle 0.101010101\cdots$이다. 즉, $\displaystyle α=\frac{10}{99}$이다.

● 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to∞}\left(\frac{n+100a_n}{n+a_n}\right)^n&=\lim_{n\to∞}\left(\frac{1+\frac{100a_n}n}{1+\frac{a_n}n}\right)^n=\frac{\lim_{n\to∞}(1+\frac{100a_n}n)^n}{\lim_{n\to∞}(1+\frac{a_n}n)^n}\\&=\frac{\lim_{n\to∞}(1+\frac1{n/100a_n})^{\frac n{100a_n}\cdot100a_n}}{\lim_{n\to∞}(1+\frac1{n/a_n})^{\frac n{a_n}\cdot a_n}}=\frac{e^{100α}}{e^α}=e^{99α}=e^{10}\end{aligned}$

● $\displaystyle 9.9a_1=0.99,\ 9.9a_2=0.9999,\ 9.9a_3=0.999999,\ \cdots,\ 9.9a_n=1-0.01^n$

● $\displaystyle 9.9S_n=9.9\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n(1-0.01^k)=n-\sum_{k=1}^n0.01^k=n-\frac{0.01(1-0.01^n)}{1-0.01}=n-\frac{1-0.01^n}{99}$

● 따라서 점 $\displaystyle (S_n,S_n^2-6S_n+11)$과 직선 $\displaystyle x-y-10=0$ 사이의 거리는 $\displaystyle n=35$일 때 최소이다.