수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 2번

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중앙대 2015학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2015su/jayeon2_2

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문제

[문제 2] 다음 제시문 (가)~(다)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) x→∞\displaystyle x\to∞일 때, (1+1x)x\displaystyle (1+\frac1x)^x은 일정한 값에 수렴함이 알려져 있으며, 그 극한값을 e\displaystyle e로 나타낸다. 즉, lim⁡x→∞(1+1x)x=e\displaystyle \lim_{x\to∞}(1+\frac1x)^x=e이다.

(나) 수렴하는 두 수열 {an},{bn}\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}과 연속함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 다음의 등식이 성립한다.lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞an⋅lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim_{n\to∞}a_nb_n=\lim_{n\to∞}a_n\cdot\lim_{n\to∞}b_nlim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞anlim⁡n→∞bn\displaystyle \lim_{n\to∞}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to∞}a_n}{\lim_{n\to∞}b_n} (단, bn≠0,lim⁡n→∞bn≠0\displaystyle b_n\ne0,\lim_{n\to∞}b_n\ne0)lim⁡n→∞f(an)=f(lim⁡n→∞an)\displaystyle \lim_{n\to∞}f(a_n)=f(\lim_{n\to∞}a_n)

(다) 좌표평면 위의 한 점 (x0,y0)\displaystyle (x_0,y_0)과 직선 ax+by+c=0\displaystyle ax+by+c=0 사이의 거리 d\displaystyle d는 다음과 같다.d=∣ax0+by0+c∣a2+b2\displaystyle d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

[문제 2-1] 다음 수열의 n\displaystyle n번째 항을 an\displaystyle a_n이라 할 때, lim⁡n→∞(n+100ann+an)n\displaystyle \lim_{n\to∞}(\frac{n+100a_n}{n+a_n})^n을 구하시오. [10점]0.1, 0.101, 0.10101, 0.1010101, ⋯\displaystyle 0.1,\ 0.101,\ 0.10101,\ 0.1010101,\ \cdots

[문제 2-2] [문제 2-1]에서 정의된 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 첫째 항부터 n\displaystyle n번째 항까지의 합을 Sn\displaystyle S_n이라 하자. 점 (Sn,Sn2−6Sn+11)\displaystyle (S_n,S_n^2-6S_n+11)과 직선 x−y−10=0\displaystyle x-y-10=0 사이의 거리가 최소가 되는 자연수 n\displaystyle n을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2015학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2015su/jayeon2_2

수학 문제 2-1 예시 답안

+4점 · [2-1] α\displaystyle α를 계산하면

● α=lim⁡n→∞an\displaystyle α=\lim_{n\to∞}a_n이라 하면 α\displaystyle α는 순환소수 0.101010101⋯\displaystyle 0.101010101\cdots이다. 즉, α=1099\displaystyle α=\frac{10}{99}이다.

+4점 · [2-1] lim⁡n→∞(n+100ann+an)n=lim⁡n→∞(1+100ann)nlim⁡n→∞(1+ann)n\displaystyle \lim_{n\to∞}(\frac{n+100a_n}{n+a_n})^n=\frac{\lim_{n\to∞}(1+\frac{100a_n}n)^n}{\lim_{n\to∞}(1+\frac{a_n}n)^n}를 계산하면
+2점 · [2-1] lim⁡n→∞(n+100ann+an)n=e10\displaystyle \lim_{n\to∞}(\frac{n+100a_n}{n+a_n})^n=e^{10}를 계산하면

● 따라서lim⁡n→∞(n+100ann+an)n=lim⁡n→∞(1+100ann1+ann)n=lim⁡n→∞(1+100ann)nlim⁡n→∞(1+ann)n=lim⁡n→∞(1+1n/100an)n100an⋅100anlim⁡n→∞(1+1n/an)nan⋅an=e100αeα=e99α=e10\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to∞}\left(\frac{n+100a_n}{n+a_n}\right)^n&=\lim_{n\to∞}\left(\frac{1+\frac{100a_n}n}{1+\frac{a_n}n}\right)^n=\frac{\lim_{n\to∞}(1+\frac{100a_n}n)^n}{\lim_{n\to∞}(1+\frac{a_n}n)^n}\\&=\frac{\lim_{n\to∞}(1+\frac1{n/100a_n})^{\frac n{100a_n}\cdot100a_n}}{\lim_{n\to∞}(1+\frac1{n/a_n})^{\frac n{a_n}\cdot a_n}}=\frac{e^{100α}}{e^α}=e^{99α}=e^{10}\end{aligned}

수학 문제 2-2 예시 답안

+3점 · [2-2] an\displaystyle a_n을 계산하면

● 9.9a1=0.99, 9.9a2=0.9999, 9.9a3=0.999999, ⋯ , 9.9an=1−0.01n\displaystyle 9.9a_1=0.99,\ 9.9a_2=0.9999,\ 9.9a_3=0.999999,\ \cdots,\ 9.9a_n=1-0.01^n

+3점 · [2-2] Sn\displaystyle S_n을 계산하면

● 9.9Sn=9.9∑k=1nak=∑k=1n(1−0.01k)=n−∑k=1n0.01k=n−0.01(1−0.01n)1−0.01=n−1−0.01n99\displaystyle 9.9S_n=9.9\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n(1-0.01^k)=n-\sum_{k=1}^n0.01^k=n-\frac{0.01(1-0.01^n)}{1-0.01}=n-\frac{1-0.01^n}{99}

● Sn=10n99−10(1−0.01n)992\displaystyle S_n=\frac{10n}{99}-\frac{10(1-0.01^n)}{99^2}

● 점 (Sn,Sn2−6Sn+11)\displaystyle (S_n,S_n^2-6S_n+11)과 직선 x−y−10=0\displaystyle x-y-10=0 사이의 거리 d\displaystyle d는 다음과 같다.d=∣Sn−Sn2+6Sn−11−10∣2=∣Sn2−7Sn+21∣2=(Sn−7/2)2+35/42\displaystyle d=\frac{|S_n-S_n^2+6S_n-11-10|}{\sqrt2}=\frac{|S_n^2-7S_n+21|}{\sqrt2}=\frac{(S_n-7/2)^2+35/4}{\sqrt2}

● Sn=10n99−10(1−0.01n)992\displaystyle S_n=\frac{10n}{99}-\frac{10(1-0.01^n)}{99^2}에서 10(1−0.01n)992\displaystyle \frac{10(1-0.01^n)}{99^2}은 n\displaystyle n에 관계없이 매우 작은 수이고 10n99\displaystyle \frac{10n}{99}은 n=35\displaystyle n=35일 때, 3.53535⋯\displaystyle 3.53535\cdots로서 72\displaystyle \frac72에 가장 가깝다.

+4점 · [2-2] n\displaystyle n을 계산하면

● 따라서 점 (Sn,Sn2−6Sn+11)\displaystyle (S_n,S_n^2-6S_n+11)과 직선 x−y−10=0\displaystyle x-y-10=0 사이의 거리는 n=35\displaystyle n=35일 때 최소이다.

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 10점 이내에서 −0.5~+0.5점 추가 점수 부여 가능함.

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