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자연계열 I 3번

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중앙대 2016학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2016su/jayeon1_3

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문제

[문제 3] 다음 제시문 (가), (나)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 방정식의 실근의 개수는 함수의 그래프의 개형을 그려 x\displaystyle x축과의 교점의 개수를 조사하면 구할 수 있다.

(나) 탄젠트 함수의 덧셈정리는 다음과 같으며tan⁡(θ1+θ2)=tan⁡θ1+tan⁡θ21−tan⁡θ1tan⁡θ2\displaystyle \tan(θ_1+θ_2)=\frac{\tan θ_1+\tan θ_2}{1-\tan θ_1\tan θ_2},이 덧셈정리를 이용하여 다음을 얻을 수 있다.tan⁡3θ=3tan⁡θ−tan⁡3θ1−3tan⁡2θ\displaystyle \tan3θ=\frac{3\tan θ-\tan^3θ}{1-3\tan^2θ}

[문제 3-1] 임의의 실수 α\displaystyle α에 대하여 삼차방정식 x3−3αx2−3x+α=0\displaystyle x^3-3αx^2-3x+α=0이 서로 다른 세 실근 x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 (x1<x2<x3\displaystyle x_1<x_2<x_3)을 갖는 것을 논리적으로 설명하시오. [10점]

[문제 3-2] 1보다 큰 임의의 실수 α\displaystyle α에 대하여 삼차방정식 x3−3αx2−3x+α=0\displaystyle x^3-3αx^2-3x+α=0의 서로 다른 세 실근 x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 (x1<x2<x3\displaystyle x_1<x_2<x_3)이 다음 부등식을 만족함을 논리적으로 설명하시오.−1<x1<0<x2<1\displaystyle -1<x_1<0<x_2<1또한, 극한값 (a) lim⁡α→∞x1\displaystyle \lim_{α\to∞}x_1과 (b) lim⁡α→∞x2\displaystyle \lim_{α\to∞}x_2를 논리적으로 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2016학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2016su/jayeon1_3

문제 3-1 예시 답안

+4점 · [3-1] f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)가 서로 다른 두 실근을 가짐을 보이면

y=f(x)=x3−3αx2−3x+α\displaystyle y=f(x)=x^3-3αx^2-3x+α의 그래프를 그려 보자. f′(x)=3x2−6αx−3=0\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-6αx-3=0의 근은 α±1+α2\displaystyle α±\sqrt{1+α^2}이다.

+3점 · [3-1] f(α−1+α2)=−2(1+α2)(α−1+α2)>0\displaystyle f(α-\sqrt{1+α^2})=-2(1+α^2)(α-\sqrt{1+α^2})>0 보이면
+3점 · [3-1] f(α+1+α2)=−2(1+α2)(α+1+α2)<0\displaystyle f(α+\sqrt{1+α^2})=-2(1+α^2)(α+\sqrt{1+α^2})<0 보이면

x2=2αx+1\displaystyle x^2=2αx+1을 이용하거나 직접 계산하면,f(α−1+α2)=−2(1+α2)(α−1+α2)>0, f(α+1+α2)=−2(1+α2)(α+1+α2)<0\displaystyle f(α-\sqrt{1+α^2})=-2(1+α^2)(α-\sqrt{1+α^2})>0,\ f(α+\sqrt{1+α^2})=-2(1+α^2)(α+\sqrt{1+α^2})<0이다. 따라서 서로 다른 세 실근을 가진다.

문제 3-2 예시 답안 · 풀이 1

+8점 · [3-2] −1<x1<0<x2<1\displaystyle -1<x_1<0<x_2<1 보이면 (문제 3-1의 결과는 인정하면서 근의 범위를 구하는 문제이므로 다른 방법으로 보여도 −1<x1<0\displaystyle -1<x_1<0: 4점, 0<x2<1\displaystyle 0<x_2<1: 4점)

y=f(x)=x3−3αx2−3x+α\displaystyle y=f(x)=x^3-3αx^2-3x+α의 그래프에서 α>1\displaystyle α>1에 대하여 f(−1)=−2α+2<0,f(0)=α>0\displaystyle f(-1)=-2α+2<0,f(0)=α>0 그리고 f(1)=−2α−2<0\displaystyle f(1)=-2α-2<0이므로 그래프를 그려 보면 −1<x1<0<x2<1\displaystyle -1<x_1<0<x_2<1임을 알 수 있다.

+6점 · [3-2] lim⁡α→∞x1=−13\displaystyle \lim_{α\to∞}x_1=\frac{-1}{\sqrt3} 나오면 (논리적으로 설명하지 못하고 답만 맞으면 3점)

제시문에서 tan⁡3θ=α\displaystyle \tan3θ=α 그리고 tan⁡θ=x\displaystyle \tan θ=x로 놓으면 다항식 x3−3αx2−3x+α=0\displaystyle x^3-3αx^2-3x+α=0이 된다.α→∞\displaystyle α\to∞은 3θ→π2,3π2,5π2\displaystyle 3θ\to\fracπ2,\frac{3π}2,\frac{5π}2, 다시 말해 θ→π6,3π6,5π6\displaystyle θ\to\fracπ6,\frac{3π}6,\frac{5π}6을 의미한다.따라서 tan⁡θ→13,∞,−13\displaystyle \tan θ\to\frac1{\sqrt3},∞,\frac{-1}{\sqrt3}을 의미한다. 따라서 정답은 lim⁡α→∞x1=−13\displaystyle \lim_{α\to∞}x_1=\frac{-1}{\sqrt3}이고

+6점 · [3-2] lim⁡α→∞x2=13\displaystyle \lim_{α\to∞}x_2=\frac1{\sqrt3} 보이면 (논리적으로 설명하지 못하고 답만 맞으면 3점)

lim⁡α→∞x2=13\displaystyle \lim_{α\to∞}x_2=\frac1{\sqrt3}이다.

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