자연계열 I 3번

$\displaystyle y=f(x)=x^3-3αx^2-3x+α$의 그래프를 그려 보자. $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-6αx-3=0$의 근은 $\displaystyle α±\sqrt{1+α^2}$이다. $\displaystyle x^2=2αx+1$을 이용하거나 직접 계산하면,$\displaystyle f(α-\sqrt{1+α^2})=-2(1+α^2)(α-\sqrt{1+α^2})>0,\ f(α+\sqrt{1+α^2})=-2(1+α^2)(α+\sqrt{1+α^2})<0$이다. 따라서 서로 다른 세 실근을 가진다.

$\displaystyle y=f(x)=x^3-3αx^2-3x+α$의 그래프에서 $\displaystyle α>1$에 대하여 $\displaystyle f(-1)=-2α+2<0,f(0)=α>0$ 그리고 $\displaystyle f(1)=-2α-2<0$이므로 그래프를 그려 보면 $\displaystyle -1<x_1<0<x_2<1$임을 알 수 있다.

제시문에서 $\displaystyle \tan3θ=α$ 그리고 $\displaystyle \tan θ=x$로 놓으면 다항식 $\displaystyle x^3-3αx^2-3x+α=0$이 된다.$\displaystyle α\to∞$은 $\displaystyle 3θ\to\fracπ2,\frac{3π}2,\frac{5π}2$, 다시 말해 $\displaystyle θ\to\fracπ6,\frac{3π}6,\frac{5π}6$을 의미한다.따라서 $\displaystyle \tan θ\to\frac1{\sqrt3},∞,\frac{-1}{\sqrt3}$을 의미한다. 따라서 정답은 $\displaystyle \lim_{α\to∞}x_1=\frac{-1}{\sqrt3}$이고 $\displaystyle \lim_{α\to∞}x_2=\frac1{\sqrt3}$이다.