수리논술, 이게 다다.중앙대 2019학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2019su/jayeon1_1
문제
[문제 1] 1부터 7까지 번호가 하나씩 적혀 있는 7개의 공을 가지고 다음과 같은 규칙으로 게임이 진행된다.
● 빨간 주머니에는 1번 공, 2번 공이 각각 하나씩 들어있다.
● 파란 주머니에는 3번부터 7번까지의 공이 각각 하나씩 들어있다.
● 빨간 주머니에서 공을 하나 뽑고, 그 다음에 파란 주머니에서 공을 하나 뽑으면 다음과 같은 방식으로 점수를 얻게 된다. (단, 한번 뽑은 공은 다시 원래의 주머니에 넣는다.)
- 빨간 주머니에서 임의로 뽑은 공의 번호를 라 하고, 파란 주머니에서 임의로 뽑은 공의 번호를 라고 하자.
- 아래 그림의 정사각형 ABCD에서 직선 아래에 있는 부분의 넓이만큼을 점수로 얻는다.
위의 규칙에 따라 철수와 영희가 각각 게임에 참여하여 빨간 주머니에서 철수는 1번 공을, 영희는 2번 공을 뽑았다. 이 게임에서 철수가 영희보다 더 많은 점수를 얻을 확률과, 영희가 철수보다 더 많은 점수를 얻을 확률을 각각 구하시오. [20점]
중앙대 2019학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2019su/jayeon1_1
<방법 I>
1. 게임에서 얻을 수 있는 점수는 다음과 같이 계산된다. 예를 들어, , 일 때의 점수는 다음 그림의 진하게 칠해진 부분의 넓이인 0.5이다.
2. 철수와 영희가 파란 주머니에서 뽑은 공의 번호를 각각 , 라고 하면 위와 같은 방법으로 다음과 같이 점수를 계산할 수 있다.
| 철수 b₁ | y=x+(b−5) | 넓이(점수) | 영희 b₂ | y=2x+(b−5) | 넓이(점수) |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 0 | 3 | 1 | ||
| 4 | 0.5 | 4 | 2 | ||
| 5 | 2 | 5 | 3 | ||
| 6 | 3.5 | 6 | 3.75 | ||
| 7 | 4 | 7 | 4 |
3. 이를 바탕으로 철수와 영희가 각각 상대방보다 더 많은 점수를 얻는 경우와 그에 따르는 확률을 계산하면 다음의 표와 같다.
| 철수가 더 많은 점수를 얻는 경우 (b₁,b₂) | 확률 | 영희가 더 많은 점수를 얻는 경우 (b₁,b₂) | 확률 |
|---|---|---|---|
| (5,3) | 1/25 | (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7) | 5/25 |
| (6,3), (6,4), (6,5) | 3/25 | (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (4,7) | 5/25 |
| (7,3), (7,4), (7,5), (7,6) | 4/25 | (5,5), (5,6), (5,7) | 3/25 |
| (6,6), (6,7) | 2/25 |
즉, 철수가 더 많은 점수를 얻을 확률은 이고, 영희가 더 많은 점수를 얻을 확률은 이다. 여기에서 철수와 영희가 같은 점수를 얻을 확률이 2가지 경우(확률 )이 있음에 유의한다.
※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함
※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함
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