자연계열 1번

단국대 2016학년도 수시논술(오전) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2016su_am/jayeon_1

[문제1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (30점)

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 열린 구간에서 미분가능할 때, 그 구간의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 증가하고, $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 감소한다. 또, 함수 $\displaystyle f(x)$ 가닫힌 구간에서 연속이면, 이 구간에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 최댓값과 최솟값을 갖는다.

(나) 미분가능한 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 의 곱 $\displaystyle f(x)g(x)$ 의 미분법을 이용하면 다음과 같은 적분 공식을 얻을 수 있다. $\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx$ 이와 같은 적분법을 부분적분법이라고 한다.

(다) 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=g(x)$ 와 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b\,(a<b)$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 다음과 같다. $\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$

[논제 1] 두 곡선 $\displaystyle y=xe^x$ , $\displaystyle y=axe^x$ 및 두 직선 $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle x=1$ 로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\displaystyle 6\left(1-\frac1e\right)$ 일때, 실수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a$ 는 음의 실수) (10점)

[논제 2] 좌표평면에서 곡선 $\displaystyle x^2+y^2=r^2\,(y>0$ , $\displaystyle r$ 는 양의 실수) 위를 움직이며 $\displaystyle y$ 축에 대하여 대칭인 두점 $\displaystyle \mathrm P$ , $\displaystyle \mathrm Q$ 가 있다. 네 점 $\displaystyle (-r,0)$ , $\displaystyle (r,0)$ , $\displaystyle \mathrm P$ , $\displaystyle \mathrm Q$ 를 꼭짓점으로 하는 사각형 중 넓이가 최대인것을 $\displaystyle R$ 라 하자. 실수 $\displaystyle k$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(1) 곡선 $\displaystyle y=kx^2$ 은 두 점 $\displaystyle \mathrm P$ , $\displaystyle \mathrm Q$ 를 지난다.(2) 사각형 $\displaystyle R$ 의 내부에서 곡선 $\displaystyle y=kx^2$ 의 윗 부분을 뺀 도형의 넓이가 $\displaystyle 15\sqrt3$ 이다.

두 실수 $\displaystyle r$ 과 $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

단국대 2016학년도 수시논술(오전) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2016su_am/jayeon_1

+5점 · 두 함수가 만나는 점

\displaystyle (0,0)

을 찾고, 주어진 구간에서 정적분의 식을 제시

[논제 1] $\displaystyle -1\le x\le1$ 에서 $\displaystyle y=xe^x$ 은 $\displaystyle y^{\prime}=e^x(1+x)$ 이므로 증가함수이고 $\displaystyle y=axe^x$ 은 $\displaystyle y^{\prime}=ae^x(1+x)\,(a<0)$ 이므로 감소함수이다. 두 곡선 $\displaystyle y=xe^x$ 과 $\displaystyle y=axe^x$ 이 만나는 점은 $\displaystyle xe^x-axe^x=0$ 이므로 $\displaystyle (0,0)$ 이다.두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}&\int_{-1}^0(axe^x-xe^x)\,dx+\int_0^1(xe^x-axe^x)\,dx\\&=(a-1)\int_{-1}^0xe^x\,dx+(1-a)\int_0^1xe^x\,dx\\&=(a-1)\Biggl[(x-1)e^x\Biggr]_{-1}^0+(1-a)\Biggl[(x-1)e^x\Biggr]_0^1\\&=2(1-a)+2(a-1)e^{-1}\end{aligned}$

+5점 ·

\displaystyle a

의 값이

\displaystyle -2

임을 제시

따라서 $\displaystyle 2(1-a)+2(a-1)e^{-1}=6\left(1-\frac1e\right)$ 이므로 $\displaystyle a=-2$ 이다.

+5점 · 최대가 되는 사각형의 넓이 제시

[논제 2]먼저, 두 점 $\displaystyle \mathrm P$ 와 $\displaystyle \mathrm Q$ 가 $\displaystyle y$ 축에 대칭이므로 사각형 $\displaystyle R$ 는 사다리꼴이다. 점 $\displaystyle \mathrm P$ 를 1사분면 위의 점이라 하면,점 $\displaystyle \mathrm P$ 는 곡선 $\displaystyle x^2+y^2=r^2\,(y>0)$ 위의 점이므로 이 점의 좌표를 $\displaystyle (x,\sqrt{r^2-x^2})$ 이라 하면, $\displaystyle 0<x<r$ 이고사각형 $\displaystyle R$ 의 넓이는 $\displaystyle A(x)=(r+x)\sqrt{r^2-x^2}$ 이다.

함수 $\displaystyle A(x)$ 의 정의역은 $\displaystyle 0<x<r$ 이고, 도함수는 $\displaystyle A^{\prime}(x)=\sqrt{r^2-x^2}-\frac{x(r+x)}{\sqrt{r^2-x^2}}=\frac{-2x^2-xr+r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}$ 이다.이제 $\displaystyle A^{\prime}(x)=0$ 으로 놓으면 $\displaystyle -2x^2-xr+r^2=0$ 이므로 $\displaystyle -2(x+r)\left(x-\frac r2\right)=0$ 이고 $\displaystyle x=\frac r2$ 또는 $\displaystyle x=-r$ 이다. 그런데 $\displaystyle 0<x<r$ 이므로 $\displaystyle x=\frac r2$ 이고, $\displaystyle A\left(\frac r2\right)=\frac{3\sqrt3}4r^2$ 이다. $\displaystyle A^{\prime}(x)$ 의 부호를 조사하여 $\displaystyle A(x)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle \frac r2$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle r$
$\displaystyle A^{\prime}(x)$		$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$
$\displaystyle A(x)$	$\displaystyle r^2$	$\displaystyle \nearrow$	$\displaystyle \frac{3\sqrt3}4r^2$	$\displaystyle \searrow$	$\displaystyle 0$

위의 표에 의해 $\displaystyle A(x)$ 는 $\displaystyle x=\frac r2$ 일 때, 최댓값을 가지므로 사각형 $\displaystyle R$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}4r^2$ 이고, 이때 점 $\displaystyle \mathrm P$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac r2,\frac{\sqrt3}2r\right)$ 이다.

+5점 · 곡선의 방정식 제시

점 $\displaystyle \mathrm P$ 는 곡선 $\displaystyle y=kx^2$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2r=k\frac{r^2}4$ 으로부터 $\displaystyle k=\frac{2\sqrt3}r$ 이고,곡선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{2\sqrt3}rx^2$ 이다.

+5점 · 조건 (2)의 도형의 넓이 제시

사각형 $\displaystyle R$ 의 내부에서 곡선의 윗부분의 넓이는 직선 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}2r$ 와 곡선 $\displaystyle y=\frac{2\sqrt3}rx^2$ 으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같으므로 $\displaystyle 2\int_0^{r/2}\left(\frac{\sqrt3}2r-\frac{2\sqrt3}rx^2\right)\,dx=2\Biggl[\frac{\sqrt3}2rx-\frac{2\sqrt3}{3r}x^3\Biggr]_0^{r/2}=\frac{\sqrt3}3r^2$ 이다.

사각형 $\displaystyle R$ 의 넓이가 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}4r^2$ 이므로 사각형 $\displaystyle R$ 의 내부에서 곡선 $\displaystyle y=kx^2$ 의 윗 부분을 뺀 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}4r^2-\frac{\sqrt3}3r^2=\frac{5\sqrt3}{12}r^2$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle r=6

\displaystyle k=\frac{\sqrt3}3

을 제시

따라서 조건 (2)로부터 $\displaystyle r^2=36$ 이므로 $\displaystyle r=6$ 이고, $\displaystyle k=\frac{\sqrt3}3$ 이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.