자연계열 1번

[논제 1]$\displaystyle -1\le x\le1$에서 $\displaystyle y=xe^x$은 $\displaystyle y^{\prime}=e^x(1+x)$이므로 증가함수이고 $\displaystyle y=axe^x$은 $\displaystyle y^{\prime}=ae^x(1+x)\,(a<0)$이므로 감소함수이다. 두 곡선 $\displaystyle y=xe^x$과 $\displaystyle y=axe^x$이 만나는 점은 $\displaystyle xe^x-axe^x=0$이므로 $\displaystyle (0,0)$이다.두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{-1}^0(axe^x-xe^x)\,dx+\int_0^1(xe^x-axe^x)\,dx\\&=(a-1)\int_{-1}^0xe^x\,dx+(1-a)\int_0^1xe^x\,dx\\&=(a-1)\Biggl[(x-1)e^x\Biggr]_{-1}^0+(1-a)\Biggl[(x-1)e^x\Biggr]_0^1\\&=2(1-a)+2(a-1)e^{-1}\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle 2(1-a)+2(a-1)e^{-1}=6\left(1-\frac1e\right)$이므로 $\displaystyle a=-2$이다.

[논제 2]먼저, 두 점 $\displaystyle \mathrm P$와 $\displaystyle \mathrm Q$가 $\displaystyle y$축에 대칭이므로 사각형 $\displaystyle R$는 사다리꼴이다. 점 $\displaystyle \mathrm P$를 1사분면 위의 점이라 하면,점 $\displaystyle \mathrm P$는 곡선 $\displaystyle x^2+y^2=r^2\,(y>0)$ 위의 점이므로 이 점의 좌표를 $\displaystyle (x,\sqrt{r^2-x^2})$이라 하면, $\displaystyle 0<x<r$이고사각형 $\displaystyle R$의 넓이는 $\displaystyle A(x)=(r+x)\sqrt{r^2-x^2}$이다.

함수 $\displaystyle A(x)$의 정의역은 $\displaystyle 0<x<r$이고, 도함수는 $\displaystyle A^{\prime}(x)=\sqrt{r^2-x^2}-\frac{x(r+x)}{\sqrt{r^2-x^2}}=\frac{-2x^2-xr+r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}$이다.이제 $\displaystyle A^{\prime}(x)=0$으로 놓으면 $\displaystyle -2x^2-xr+r^2=0$이므로 $\displaystyle -2(x+r)\left(x-\frac r2\right)=0$이고 $\displaystyle x=\frac r2$ 또는 $\displaystyle x=-r$이다. 그런데 $\displaystyle 0<x<r$이므로 $\displaystyle x=\frac r2$이고, $\displaystyle A\left(\frac r2\right)=\frac{3\sqrt3}4r^2$이다. $\displaystyle A^{\prime}(x)$의 부호를 조사하여 $\displaystyle A(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

위의 표에 의해 $\displaystyle A(x)$는 $\displaystyle x=\frac r2$일 때, 최댓값을 가지므로 사각형 $\displaystyle R$의 넓이는 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}4r^2$이고, 이때 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac r2,\frac{\sqrt3}2r\right)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm P$는 곡선 $\displaystyle y=kx^2$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2r=k\frac{r^2}4$으로부터 $\displaystyle k=\frac{2\sqrt3}r$이고,곡선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{2\sqrt3}rx^2$이다.

사각형 $\displaystyle R$의 내부에서 곡선의 윗부분의 넓이는 직선 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}2r$와 곡선 $\displaystyle y=\frac{2\sqrt3}rx^2$으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같으므로$\displaystyle 2\int_0^{r/2}\left(\frac{\sqrt3}2r-\frac{2\sqrt3}rx^2\right)\,dx=2\Biggl[\frac{\sqrt3}2rx-\frac{2\sqrt3}{3r}x^3\Biggr]_0^{r/2}=\frac{\sqrt3}3r^2$이다.

사각형 $\displaystyle R$의 넓이가 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}4r^2$이므로 사각형 $\displaystyle R$의 내부에서 곡선 $\displaystyle y=kx^2$의 윗 부분을 뺀 도형의 넓이는$\displaystyle \frac{3\sqrt3}4r^2-\frac{\sqrt3}3r^2=\frac{5\sqrt3}{12}r^2$이다. 따라서 조건 (2)로부터 $\displaystyle r^2=36$이므로 $\displaystyle r=6$이고, $\displaystyle k=\frac{\sqrt3}3$이다.