자연계열 2번

[논제 1]$\displaystyle g(x)=t$로 치환하면 $\displaystyle f$가 $\displaystyle g$의 역함수이므로 $\displaystyle x=f(t)$이며 $\displaystyle dx=f^{\prime}(t)\,dt=(1+e^{-t})\,dt$ 이다 한편$\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle g(0)=0$이고, $\displaystyle g(f(1))=1$이므로,$\displaystyle \int_0^{f(1)}e^{g(x)}\,dx=\int_0^1e^t(1+e^{-t})\,dt=\int_0^1(e^t+1)\,dt=e$이다.

[논제 2]먼저, $\displaystyle g(0)=0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+e^{-x}$이므로$\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{g(t)}t=\lim_{t\to0}\frac{g(t)-g(0)}t=g^{\prime}(0)=\frac1{f^{\prime}(g(0))}=\frac12$

이다. 또, $\displaystyle h^{\prime}(x)=x^2e^x$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to0}\frac{h(g(a)+g(t))-h(g(a))}t&=\lim_{t\to0}\frac{h(g(a)+g(t))-h(g(a))}{g(t)}\frac{g(t)}t\\&=\lim_{s\to0}\frac{h(g(a)+s)-h(g(a))}s\lim_{t\to0}\frac{g(t)}t\\&=h^{\prime}(g(a))g^{\prime}(0)\\&=\frac{g(a)^2e^{g(a)}}2\end{aligned}$

이다. 따라서 $\displaystyle a\le0$일 때, $\displaystyle K(a)=\frac12g(a)^2e^{g(a)}$가 최대가 되는 $\displaystyle a$의 값을 구한다. $\displaystyle g(x)$가 실수 전체 집합에서 일대일대응인 증가함수이고 $\displaystyle g(0)=0$이므로 $\displaystyle g(a)=x$로 치환하여 $\displaystyle x\le0$일 때, $\displaystyle H(x)=\frac12x^2e^x$의최댓값을 구하면 된다.$\displaystyle H^{\prime}(x)=\frac12x(x+2)e^x$$\displaystyle H^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=-2$ 또는 $\displaystyle x=0$이고 $\displaystyle H^{\prime}(x)$의 부호를 조사하면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle x=-2$일 때, 최댓값 $\displaystyle \frac2{e^2}$을 갖는다.한편, $\displaystyle g(a)=x=-2$로부터 $\displaystyle a=f(-2)=-1-e^2$이므로 $\displaystyle a=-1-e^2$일 때, $\displaystyle K(a)$는 최댓값 $\displaystyle \frac2{e^2}$를 갖는다.