자연계열 2번

단국대 2016학년도 수시논술(오후) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2016su_pm/jayeon_2

[문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (30점)

(가) 함수가 일대일대응이면 역함수를 갖는다. 그러므로 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 역함수를 갖는다. 마찬가지로 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ 인 경우에도 $\displaystyle f(x)$ 는 역함수를 갖는다.예를 들어 $\displaystyle f(x)=1+x-e^{-x}$ 는 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+e^{-x}>0$ 이므로 역함수를 갖는다.

(나) 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 부정적분 중의 하나를 $\displaystyle F(x)$ 라 하면 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ 이다.

(다) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 에서 $\displaystyle x$ 의 값이 $\displaystyle a$ 에서 $\displaystyle a+t$ 까지 변할 때 $\displaystyle \frac{f(a+t)-f(a)}t$ 를 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의평균변화율이라 하고, 평균변화율의 극한값 $\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{f(a+t)-f(a)}t$ 가 존재하면 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하다고 한다. 이때, 이 극한값을 $\displaystyle y=f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 순간변화율 또는 미분계수라고 하고 기호로 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ 와 같이 나타낸다.

함수 $\displaystyle f(x)=1+x-e^{-x}$ 의 역함수를 $\displaystyle g(x)$ 라 하고 $\displaystyle h(x)=(x^2-2x+2)e^x$ 일 때, [논제 1]과 [논제 2]의물음에 답하시오.

[논제 1] $\displaystyle \int_0^{f(1)}e^{g(x)}\,dx$ 의 값을 구하시오. (10점)

[논제 2] $\displaystyle a\le0$ 일 때, $\displaystyle K(a)=\lim_{t\to0}\frac{h(g(a)+g(t))-h(g(a))}t$ 라 하자. $\displaystyle K(a)$ 의 최댓값과 이때의 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

단국대 2016학년도 수시논술(오후) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2016su_pm/jayeon_2

+5점 ·

\displaystyle g(x)=t

로 제시

[논제 1] $\displaystyle g(x)=t$ 로 치환하면 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle g$ 의 역함수이므로 $\displaystyle x=f(t)$ 이며 $\displaystyle dx=f^{\prime}(t)\,dt=(1+e^{-t})\,dt$ 이다

+5점 ·

\displaystyle \int_0^{f(1)}e^{g(x)}\,dx=\int_0^1(e^t+1)\,dt=e

를 제시

한편 $\displaystyle f(0)=0$ 이므로 $\displaystyle g(0)=0$ 이고, $\displaystyle g(f(1))=1$ 이므로, $\displaystyle \int_0^{f(1)}e^{g(x)}\,dx=\int_0^1e^t(1+e^{-t})\,dt=\int_0^1(e^t+1)\,dt=e$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle g^{\prime}(0)=\frac1{f^{\prime}(g(0))}=\frac12

을 제시

[논제 2]먼저, $\displaystyle g(0)=0$ 이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+e^{-x}$ 이므로 $\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{g(t)}t=\lim_{t\to0}\frac{g(t)-g(0)}t=g^{\prime}(0)=\frac1{f^{\prime}(g(0))}=\frac12$

+5점 ·

\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{h(g(a)+g(t))-h(g(a))}t=\frac{g(a)^2e^{g(a)}}2

를 제시

이다. 또, $\displaystyle h^{\prime}(x)=x^2e^x$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to0}\frac{h(g(a)+g(t))-h(g(a))}t&=\lim_{t\to0}\frac{h(g(a)+g(t))-h(g(a))}{g(t)}\frac{g(t)}t\\&=\lim_{s\to0}\frac{h(g(a)+s)-h(g(a))}s\lim_{t\to0}\frac{g(t)}t\\&=h^{\prime}(g(a))g^{\prime}(0)\\&=\frac{g(a)^2e^{g(a)}}2\end{aligned}$

+10점 ·

\displaystyle a=-1-e^2

일 때, 최댓값

\displaystyle \frac2{e^2}

를 제시

이다. 따라서 $\displaystyle a\le0$ 일 때, $\displaystyle K(a)=\frac12g(a)^2e^{g(a)}$ 가 최대가 되는 $\displaystyle a$ 의 값을 구한다. $\displaystyle g(x)$ 가 실수 전체 집합에서 일대일대응인 증가함수이고 $\displaystyle g(0)=0$ 이므로 $\displaystyle g(a)=x$ 로 치환하여 $\displaystyle x\le0$ 일 때, $\displaystyle H(x)=\frac12x^2e^x$ 의최댓값을 구하면 된다. $\displaystyle H^{\prime}(x)=\frac12x(x+2)e^x$ $\displaystyle H^{\prime}(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=-2$ 또는 $\displaystyle x=0$ 이고 $\displaystyle H^{\prime}(x)$ 의 부호를 조사하면 다음과 같다.

$\displaystyle x$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdots$
$\displaystyle H^{\prime}$	$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +$
$\displaystyle H$	$\displaystyle \nearrow$	$\displaystyle \frac2{e^2}$	$\displaystyle \searrow$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \nearrow$

따라서 $\displaystyle x=-2$ 일 때, 최댓값 $\displaystyle \frac2{e^2}$ 을 갖는다.한편, $\displaystyle g(a)=x=-2$ 로부터 $\displaystyle a=f(-2)=-1-e^2$ 이므로 $\displaystyle a=-1-e^2$ 일 때, $\displaystyle K(a)$ 는 최댓값 $\displaystyle \frac2{e^2}$ 를 갖는다.

(참조) 함수 $\displaystyle H(x)$ 의 그래프는 다음과 같다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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