자연계열 2번

[논제1]$\displaystyle \{b_n\mid n=1,2,3,\cdots\}\subset\{a_n\mid n=1,2,3,\cdots\}$임을 보이려면, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 원소 $\displaystyle b_n$이 집합$\displaystyle \{a_n\mid n=1,2,3,\cdots\}$의 원소임을 보이면 된다. 즉, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle b_n=a_m$인 자연수 $\displaystyle m$이있음을 보이면 된다. 등비수열 $\displaystyle \{b_n\}$의 일반항은 $\displaystyle b_n=ar^{n-1}$이고 $\displaystyle a_m=a+(m-1)d$이므로$\displaystyle b_n=a_m\ \Leftrightarrow\ ar^{n-1}=a+(m-1)d\quad\cdots\quad$①

이다. 한편, $\displaystyle a$가 $\displaystyle d$의 배수이므로 $\displaystyle a=sd$를 만족시키는 자연수 $\displaystyle s$가 존재한다. 따라서 식 ①을 $\displaystyle m$에관해 풀면$\displaystyle m=sr^{n-1}-s+1$이고, $\displaystyle s$와 $\displaystyle r$이 자연수이므로 $\displaystyle m$도 자연수이다.그러므로 $\displaystyle \{b_n\mid n=1,2,3,\cdots\}\subset\{a_n\mid n=1,2,3,\cdots\}$이 성립한다.

[논제2]점 $\displaystyle \mathrm A_1$과 $\displaystyle \mathrm A_2$의 좌표가 $\displaystyle (1,0)$이므로 $\displaystyle x_1=1$, $\displaystyle x_2=1$이고 점 $\displaystyle \mathrm P_2$의 좌표는 $\displaystyle (1,1)$, 점 $\displaystyle \mathrm Q_2$의 좌표는 $\displaystyle (0,1)$,점 $\displaystyle \mathrm R_2$의 좌표는 $\displaystyle (1,0)$이므로 점 $\displaystyle \mathrm A_3$의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle x_3=(\mathrm R_2\text{의 }x\text{좌표})+x_1=1+1=2$이다.정해진 규칙에 따라 점 $\displaystyle \mathrm P_n$의 좌표는 $\displaystyle \left(x_n,\frac1{x_n}\right)$, $\displaystyle \mathrm Q_n$은 $\displaystyle \left(0,\frac1{x_n}\right)$, $\displaystyle \mathrm R_n$은 $\displaystyle \left(\frac1{x_n},0\right)$이므로 점화식$\displaystyle x_{n+1}=\frac1{x_n}+x_{n-1}$ (단, $\displaystyle n\ge2$인 자연수)

를 얻는다. 즉 $\displaystyle x_{n+1}x_n-x_nx_{n-1}=1$이다. 한편, 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle y_n=x_{n+1}x_n$이라 놓으면$\displaystyle y_1=x_2x_1=1$이므로 수열 $\displaystyle \{y_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle 1$이고 공차가 $\displaystyle 1$인 등차수열이다. 따라서 수열 $\displaystyle \{y_n\}$의 일반항은 $\displaystyle y_n=n$, 즉 $\displaystyle x_{n+1}x_n=n$이고, 이로부터 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}x_{n+1}&=\frac n{x_n}=\frac n{n-1}x_{n-1}=\frac n{n-1}\times\frac{n-2}{n-3}x_{n-3}\\&=\frac n{n-1}\times\frac{n-2}{n-3}\times\frac{n-4}{n-5}x_{n-5}\end{aligned}$

따라서 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle \begin{aligned}x_{2n}&=\frac{2n-1}{2n-2}\times\frac{2n-3}{2n-4}\times\frac{2n-5}{2n-6}x_{2n-6}\\&=\frac{2n-1}{2n-2}\times\frac{2n-3}{2n-4}\times\frac{2n-5}{2n-6}\times\cdots\times\frac54\times\frac32\\&=\frac{(2n-1)!}{(2n-2)^2(2n-4)^2\cdots4^2\cdot2^2}\\&=\frac{(2n-1)!}{2^{2(n-1)}\{(n-1)!\}^2}\end{aligned}$

그러므로 $\displaystyle f(n)=\{(n-1)!\}^2$이다.