자연계열 3번

[논제 1]곡선 $\displaystyle y=10^{x+1}+2$와 곡선 $\displaystyle y=\log(x-1)$을 모두 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle a$만큼, $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle b$만큼 평행이동한 두 곡선은 각각 $\displaystyle y=10^{x-a+1}+b+2$와 $\displaystyle y=b+\log(x-a-1)$이다. 함수 $\displaystyle y=10^{x-a+1}+b+2$의역함수는 $\displaystyle y=a-1+\log(x-b-2)$이므로, $\displaystyle a-1=b$가 성립할 때 함수 $\displaystyle y=b+\log(x-a-1)$은 함수$\displaystyle y=10^{x-a+1}+b+2$의 역함수가 된다. 또한 함수 $\displaystyle 10^{x-a+1}+b+2=10^{x+c}$이어야 하므로 $\displaystyle b=-2$,$\displaystyle c=-a+1$이다. 따라서 $\displaystyle a=-1$이고, $\displaystyle c=2$이다. 그러므로 $\displaystyle a=-1$, $\displaystyle b=-2$, $\displaystyle c=2$이다.

(별해) 곡선 $\displaystyle y=10^{x+1}+2$를 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle a$만큼, $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle b$만큼 평행이동한 곡선$\displaystyle y=10^{x-a+1}+b+2$가 $\displaystyle y=10^{x+c}$과 같아야 하므로 $\displaystyle c=-a+1$, $\displaystyle b=-2$이다. 한편 함수 $\displaystyle y=10^{x+c}$의 역함수 $\displaystyle y=-c+\log x$가 $\displaystyle y=b+\log(x-a-1)$과 같아야 하므로 $\displaystyle -c=b$, $\displaystyle a+1=0$이어야 한다. 이로부터$\displaystyle a=-1$, $\displaystyle c=2$를 얻는다.

[논제 2]$\displaystyle g(x)=1+\log(x+1)$이라 하면 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 곡선 $\displaystyle y=g(x)$를 모두 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle a$만큼, $\displaystyle y$축의방향으로 $\displaystyle b$만큼 평행이동한 두 곡선은 각각 $\displaystyle y=10^{x-n-a}-n+b$와 $\displaystyle y=(b+1)+\log(x-a+1)$이다.$\displaystyle y=10^{x-n-a}-n+b$의 역함수는 $\displaystyle y=(n+a)+\log(x+n-b)$이므로 $\displaystyle b=n+a-1$을 만족시키는 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$에대하여 $\displaystyle y=10^{x-n-a}-n+b$와 $\displaystyle y=(b+1)+\log(x-a+1)$은 서로 역함수이다.

특별히 $\displaystyle a=1$, $\displaystyle b=n$이라 하면 $\displaystyle y=f(x)$와 곡선 $\displaystyle y=g(x)$를 모두 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle 1$만큼, $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle n$만큼 평행이동한 두 곡선은 각각 $\displaystyle y=10^{x-n-1}$과 $\displaystyle y=(n+1)+\log x$이다. 이 때 함수$\displaystyle f_1(x)=10^{x-n-1}$과 함수 $\displaystyle g_1(x)=(n+1)+\log x$는 증가함수이고 서로 역함수이다. 따라서 방정식$\displaystyle f_1(x)=g_1(x)$의 해는 $\displaystyle 10^{x-n-1}=x$의 해와 같다. 한편 방정식 $\displaystyle f(x)=g(x)$의 해는 방정식$\displaystyle 10^{x-n-1}=x$의 해에서 $\displaystyle 1$을 뺀 값이므로 $\displaystyle 10^{x-n-1}=x$의 해는 $\displaystyle \alpha_1=\alpha+1$, $\displaystyle \beta_1=\beta+1$이다.편의상 $\displaystyle \alpha<\beta$라고 가정하면, 지수함수의 그래프의 개형에 의하여 $\displaystyle 10^{x-n-1}=x$의 해 $\displaystyle \alpha_1$, $\displaystyle \beta_1$은$\displaystyle 0<\alpha_1<1$, $\displaystyle \beta_1>2$를 만족시킨다.

$\displaystyle \alpha=\alpha_1-1$이므로 $\displaystyle -1<\alpha<0$이 되어 $\displaystyle [\alpha]=-1$이다. 이를 $\displaystyle p(n)=[\alpha]+[\beta]$에 대입하면 $\displaystyle [\beta]=p(n)+1$을 얻는다. $\displaystyle \beta_1=\beta+1$로부터 $\displaystyle [\beta_1]=p(n)+2$이므로 $\displaystyle p(n)+2\le\beta_1<p(n)+3$이 성립해야 한다.이제 $\displaystyle 10^{x-n-1}=x$의 해 $\displaystyle \beta_1$이 구간 $\displaystyle [p(n)+2,p(n)+3)$에 존재하기 위해서는 지수함수의 그래프의 개형에 의하여$\displaystyle 10^{p(n)+2-n-1}\le p(n)+2$, $\displaystyle 10^{p(n)+3-n-1}>p(n)+3$, 즉$\displaystyle 10^{p(n)-n+1}\le p(n)+2$, $\displaystyle 10^{p(n)-n+2}>p(n)+3$ … (*)이 성립해야 한다. 한편 $\displaystyle \beta_1>2$이므로 $\displaystyle [\beta_1]\ge2$이고, 이를 $\displaystyle [\beta_1]=p(n)+2$에 대입하면 $\displaystyle p(n)\ge0$을 얻는다. 이제 두 부등식 (*)로부터 다음 관계를 얻을 수 있다.

(ⅰ) $\displaystyle 3\le p(n)+3\le9$인 경우, $\displaystyle p(n)-n+2=1$이어야 하므로 $\displaystyle p(n)=n-1$이고, 이때 $\displaystyle 1\le n\le7$이다.(ⅱ) $\displaystyle p(n)+3=10$을 만족시키는 $\displaystyle n$은 존재하지 않는다.(ⅲ) $\displaystyle 11\le p(n)+3\le99$인 경우, $\displaystyle p(n)-n+2=2$이어야 하므로 $\displaystyle p(n)=n$이고, 이때 $\displaystyle 8\le n\le96$이다.따라서,$\displaystyle p(n)=\begin{cases}n-1,&1\le n\le7\\n,&8\le n\le10\end{cases}$

이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}p(n)=0+1+\cdots+6+8+9+10=\frac{10\times11}2-7=48$이다.