자연계열 3번

[논제 1]원 $\displaystyle D$의 중심을 $\displaystyle \mathrm O^{\prime}$이라고 하자. 구의 중심 $\displaystyle \mathrm O(0,0,0)$과 평면 $\displaystyle x-y+z+a=0$의 거리는$\displaystyle \frac{|a|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\frac a{\sqrt3}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OO}^{\prime}}=\frac a{\sqrt3}$이고, 이 길이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 높이이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$는 원 $\displaystyle D$의 지름을 한 변으로 하고, 구의 반지름을 두 변으로 하는 이등변삼각형이다. 원$\displaystyle D$의 반지름의 길이를 $\displaystyle r$라고 하면, $\displaystyle r^2=9-\frac{a^2}3$이므로 $\displaystyle r=\sqrt{9-\frac{a^2}3}$이다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\frac a{\sqrt3}\times2\sqrt{9-\frac{a^2}3}$이다. 문제의 조건으로부터 $\displaystyle \frac12\times\frac a{\sqrt3}\times2\sqrt{9-\frac{a^2}3}=\frac a{\sqrt3}$이므로 $\displaystyle a=2\sqrt6$이다.

[논제 2]곡선 $\displaystyle C$의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영이 선분이므로 곡선 $\displaystyle C$는 구 $\displaystyle O$ 위의 원이거나 원의 일부이다.평면 $\displaystyle \alpha$가 구 $\displaystyle O$에 접하므로 곡선 $\displaystyle C$는 대원(의 일부)이고 $\displaystyle \ell$의 길이가 $\displaystyle 10$이고 점 $\displaystyle \mathrm P$는 점 $\displaystyle \mathrm A$를 출발할때와 도착할 때만 지나므로 곡선 $\displaystyle C$는 대원 전체이다.

곡선 $\displaystyle C$를 포함한 평면을 $\displaystyle \beta$라 하고 점 $\displaystyle \mathrm B$의 평면 $\displaystyle \beta$ 위로의 정사영을 $\displaystyle \mathrm B^{\prime\prime}$라 하자.(아래 <그림1>)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}$를 직선 $\displaystyle \mathrm{AP}$ 위로 정사영시킨 벡터와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime\prime}}$을 직선 $\displaystyle \mathrm{AP}$ 위로 정사영시킨 벡터가 같은 벡터이므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}$이다.

선분 $\displaystyle \ell$과 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}^{\prime}}$이 이루는 각의 크기는 $\displaystyle 45^\circ$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime}}$의 크기를 $\displaystyle m$, 점 $\displaystyle \mathrm B^{\prime\prime}$에서 평면 $\displaystyle \alpha$까지의거리(=높이)를 $\displaystyle h$라 하면 구의 중심 $\displaystyle \mathrm O$에서 구 위의 점 $\displaystyle \mathrm B$까지의 거리가 $\displaystyle 5$이므로$\displaystyle m^2+(5-h)^2=25$이고, $\displaystyle h=m\times\tan\theta=\frac m2$이므로 $\displaystyle h=2$이다.

옆 그림과 같이 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime\prime}}$과 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}$의 내적이 최대가 되는 점을 $\displaystyle \mathrm P_0$이라 하자. 내적이 최대가 되기 위해서는 점 $\displaystyle \mathrm P_0$에 접하는 접선이 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime\prime}}$의 연장선과 수직으로 만나야 하고, 또한 원의 특성에의해서 점 $\displaystyle \mathrm P_0$에 접하는 접선은 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_0}$과도 수직이다. 그러므로 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime\prime}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_0}$은 평행하다. (<그림2>)

벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_0}$의 직선 $\displaystyle \ell$ 위로 정사영한 벡터의 성분의 길이를 $\displaystyle p$, 점 $\displaystyle \mathrm O$를 지나고 직선 $\displaystyle \ell$과 수직인 직선 위로 정사영한 벡터의 성분의 길이를 $\displaystyle q$라 하자.(아래 <그림3>)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime\prime}}$과 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_0}$은 평행하므로 아래 그림과 같이$\displaystyle \frac2{2\sqrt2}=\frac qp$ 이고 $\displaystyle p^2+q^2=25$이다. 따라서 $\displaystyle p=5\sqrt{\frac23}$, $\displaystyle q=5\frac1{\sqrt3}$이고 결국 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}_0}$의 길이는 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}$의 길이가 $\displaystyle 5$이므로$\displaystyle \sqrt{\left(5\sqrt{\frac23}\right)^2+\left(5\sqrt{\frac13}+5\right)^2}=5\sqrt{2+\frac23\sqrt3}$이다. 그러므로 정답은 $\displaystyle 2+\frac23\sqrt3$이다.