자연계열 1번

[논제1] 평면 $\displaystyle \beta$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm C^{\prime}$가 반원 위에 있으므로 $\displaystyle \angle\mathrm{AC}^{\prime}\mathrm B$는 직각이다. $\displaystyle \angle\mathrm{BAC}^{\prime}$는 $\displaystyle 30^\circ$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{BC}^{\prime}}=2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}^{\prime}}=2\sqrt3$이다. $\displaystyle \mathrm C^{\prime}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm H$라고 하면,삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}^{\prime}$의 넓이$\displaystyle =2\sqrt3=\frac12\times4\times\overline{\mathrm{HC}^{\prime}}$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{HC}^{\prime}}=\sqrt3$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}^{\prime}}=2\sqrt3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CC}^{\prime}}=\sqrt{13}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{HC}}=4$이다.따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{HC}^{\prime}}}{\overline{\mathrm{HC}}}=\frac{\sqrt3}4$이다.

[논제2] 두 점 $\displaystyle \mathrm A$와 $\displaystyle \mathrm B$를 지나는 직선에 평행하고 점 $\displaystyle (0,1,2)$를 지나는 직선 위의 임의의 점을$\displaystyle \mathrm C(t,t+1,t+2)$라고 하자.세 점 $\displaystyle \mathrm A$, $\displaystyle \mathrm B$, $\displaystyle \mathrm C$를 지나는 평면의 방정식을 $\displaystyle ax+by+cz+d=0$이라고 하면 $\displaystyle d=0$이므로$\displaystyle at+b(t+1)+c(t+2)=0$, 즉 $\displaystyle (a+b+c)t+b+2c=0$이다. 그런데 $\displaystyle a+b+c=0$이므로 $\displaystyle b=-2c$, $\displaystyle a=c$이다. 그러므로 세 점을 지나는 평면의 방정식은 $\displaystyle x-2y+z=0$이다. 따라서 두 평면이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$ (단, $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi2$)라 하면,$\displaystyle \cos\theta=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}=\frac{|2+2+1|}{\sqrt6\sqrt6}=\frac56$이다.(단, $\displaystyle \vec n_1$, $\displaystyle \vec n_2$는 각각 두 평면의 법선벡터이다.)

두 점 $\displaystyle \mathrm A$, $\displaystyle \mathrm B$를 지나는 직선과 점 $\displaystyle (t,t+1,t+2)$를 지나는 직선은 평행하므로, 두 직선 사이의 거리를 구하기 위하여 먼저 두 직선 위의 점 $\displaystyle (0,0,0)$과 점 $\displaystyle (t,t+1,t+2)$ 사이의 거리를 구하면$\displaystyle \sqrt{(t-0)^2+(t+1-0)^2+(t+2-0)^2}=\sqrt{3(t+1)^2+2}$이다. 따라서 $\displaystyle t=-1$일 때 최솟값을 가지므로 $\displaystyle (0,0,0)$과 $\displaystyle (-1,0,1)$ 사이의 거리를 구하면 $\displaystyle \sqrt2$이다.그러므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt6}2$이며, 정사영 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}\mathrm B^{\prime}\mathrm C^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt6}2\cos\theta=\frac5{12}\sqrt6$이다.

정사영 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}\mathrm B^{\prime}\mathrm C^{\prime}$을 밑면으로 하는 사면체 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}\mathrm B^{\prime}\mathrm C^{\prime}\mathrm C$의 높이는$\displaystyle h=\frac{|2t-(t+1)+(t+2)+9|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{|2t+10|}{\sqrt6}$

이다. 문제의 조건에서 사면체의 부피가 5이므로,$\displaystyle \begin{aligned}V&=\frac13Ah\\&=\frac13\times\frac5{12}\sqrt6\times\frac{|2t+10|}{\sqrt6}\\&=5\end{aligned}$$\displaystyle 36=|2t+10|$이므로 $\displaystyle t=13$ 또는 $\displaystyle t=-23$이고, 이 중에 점 $\displaystyle \mathrm C$의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle -5$보다 크다는 조건을 만족시키는 $\displaystyle t$의 값은 $\displaystyle 13$이다. 그러므로 점 $\displaystyle \mathrm C$의 좌표는 $\displaystyle (13,14,15)$이다.