자연계열 I 3번

(예시답안) 미적분의 기본 정리에 의해 $\displaystyle x\in[0,\pi]$에 대하여 $\displaystyle F(x)=\int_0^xe^x\sin x\,dt$ 는 미분가능하고 $\displaystyle F^{\prime}(x)=e^x\sin x$ 로 주어진다.Correction. 적분 변수 $\displaystyle t$에 맞추면 $\displaystyle F(x)=\int_0^xe^x\sin x\,dt$는 $\displaystyle F(x)=\int_0^xe^t\sin t\,dt$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle \int_0^\pi e^x\sin x\,dx=F(\pi)-F(0)$ 이고 $\displaystyle F(0)=0$이므로 평균값의 정리에 의하여$\displaystyle \frac{F(\pi)}\pi=\frac{F(\pi)-F(0)}{\pi-0}=F^{\prime}(c)=e^c\sin c$가 성립하는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle (0,\pi)$에 적어도 하나 존재한다.

(예시답안) 부분적분에 의하여 $\displaystyle \int e^x\sin x\,dx=\frac12e^x(\sin x-\cos x)+C$ 이므로$\displaystyle \int_0^\pi e^x\sin x\,dx=\Biggl[\frac12e^x(\sin x-\cos x)\Biggr]_0^\pi=\frac{e^\pi+1}2$ 이고$\displaystyle \frac{\int_0^\pi e^x\sin x\,dx}{\int_0^\pi e^x\,dx}=\frac12\frac{e^\pi+1}{e^\pi-1}$ 이다. $\displaystyle 3<e^\pi$가 성립하므로 $\displaystyle e^\pi+1<2e^\pi-2$ 이 되어서$\displaystyle 0<\frac{\int_0^\pi e^x\sin x\,dx}{\int_0^\pi e^x\,dx}=\frac12\frac{e^\pi+1}{e^\pi-1}<1$ 이 성립한다.

따라서 중간값의 정리에 의해 적당한 $\displaystyle c\in(0,\pi)$가 존재해서$\displaystyle \frac{\int_0^\pi e^x\sin x\,dx}{\int_0^\pi e^x\,dx}=\frac12\frac{e^\pi+1}{e^\pi-1}=\sin c$ 를 만족한다.

(예시답안) $\displaystyle y=\sin x$는 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$ 에서 증가 함수이고 $\displaystyle \left[\frac\pi2,\pi\right]$ 에서 감소 함수이므로 $\displaystyle \frac12\frac{e^\pi+1}{e^\pi-1}=\sin c<1$ 를 만족하면서 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right)$에 포함되어 있는 $\displaystyle c$와 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right]$에 포함되어 있는 $\displaystyle c$는 하나씩밖에 없다. 이 두 개의 $\displaystyle c$를 각각 $\displaystyle c_1,c_2$라 하면 $\displaystyle \sin c_1=\frac12\frac{e^\pi+1}{e^\pi-1}=\sin c_2$이다. 그러므로 $\displaystyle \sin(\pi-\theta)=\sin\theta$에 의해 적당한 각도 $\displaystyle \theta\in\left[0,\frac\pi2\right)$에 대하여 $\displaystyle c_1=\theta$ 와 $\displaystyle c_2=\pi-\theta$로 주어진다. 따라서 $\displaystyle c_1+c_2=\pi$ 이다.