자연계열 II 3번

(예시답안)미적분의 기본 정리에 의해 $\displaystyle x\in[a,b]$에 대하여 $\displaystyle F(x)=\int_a^xe^t\sin t\,dt$ 는 미분가능하고 $\displaystyle F^{\prime}(x)=e^x\sin x$ 로 주어진다. 그러므로 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$이고 평균값의 정리에 의하여 $\displaystyle \frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F^{\prime}(c)=e^c\sin c$ 가 성립하는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle (a,b)$에 적어도 하나 존재한다.

(예시답안)최대·최소의 정리에 의하여 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 $\displaystyle y=\sin x$는 최소값 $\displaystyle m$과 최대값 $\displaystyle M$을 가진다. 따라서 $\displaystyle f(x)=e^x\sin x$ 는 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 $\displaystyle me^x\le e^x\sin x\le Me^x$ 를 만족하고$\displaystyle m\int_a^be^x\,dx\le\int_a^be^x\sin x\,dx\le M\int_a^be^x\,dx$ 이 성립한다.

위의 부등식을 양수인 $\displaystyle \int_a^be^x\,dx$ 로 나누면$\displaystyle m\le\frac{\int_a^be^x\sin x\,dx}{\int_a^be^x\,dx}\le M$ 이 되고,중간값의 정리에 의하여 $\displaystyle y=\sin x$는$\displaystyle \frac{\int_a^be^x\sin x\,dx}{\int_a^be^x\,dx}=\sin c$를만족하는 $\displaystyle c$를 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 가진다.

(예시답안)부분적분에 의하여 $\displaystyle \int e^x\sin x\,dx=\frac12e^x(\sin x-\cos x)+C$ 이므로$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi e^x\sin x\,dx=\Biggl[\frac12e^x(\sin x-\cos x)\Biggr]_{-\pi}^\pi=\frac{-e^\pi\cos\pi+e^{-\pi}\cos(-\pi)}2=\frac12(e^\pi-e^{-\pi})$ 이고$\displaystyle \sin c=\frac{\int_{-\pi}^\pi e^x\sin x\,dx}{\int_{-\pi}^\pi e^x\,dx}=\frac12\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{e^\pi-e^{-\pi}}=\frac12$ 이다.그러므로 $\displaystyle c=\frac16\pi,\frac56\pi$ 이고 그 합은 $\displaystyle \pi$이다.