자연계열 II 2번

(예시답안) $\displaystyle (f\circ f)(2x^2)=\bigl||2x^2-1|-1\bigr|=0$으로 두면 $\displaystyle 2x^2=0,2$므로 $\displaystyle x=0,\pm1$이다. 따라서 구하는 교점은 $\displaystyle (-1,0),(0,0),(1,0)$ 이다.

(예시답안) 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에 정의된 함수 $\displaystyle g(x)=nx^2$의 치역은 구간 $\displaystyle [0,n]$이다. 따라서 정수인 함숫값은 $\displaystyle k=0,1,\cdots,n$이며 $\displaystyle nx^2=k\ (k=0,1,\cdots,n)$를 만족하는 구간 $\displaystyle [0,1]$의 $\displaystyle x$값은 $\displaystyle x=\sqrt{\frac kn}\ (k=0,1,\cdots,n)$이다.

(예시답안) 함수 $\displaystyle h(x)=2nx^2$의 그래프를 $\displaystyle y$축을 따라 -1만큼 평형이동하고 $\displaystyle x$축 아래의 그래프를 $\displaystyle x$축에 대칭이 되도록 $\displaystyle x$축 위로 옮기면 함수 $\displaystyle f(2nx^2)=|2nx^2-1|$의 그래프를 얻는다. 같은 방법으로 $\displaystyle f(2nx^2)=|2nx^2-1|$의 그래프를 $\displaystyle y$축을 따라 $\displaystyle -1$ 만큼 평형이동하고 $\displaystyle x$축 아래의 그래프를 $\displaystyle x$축에 대칭이 되도록 $\displaystyle x$축 위로 옮기면 함수 $\displaystyle (f\circ f)(2nx^2)=\bigl||2nx^2-1|-1\bigr|$의 그래프를 얻는다. 합성함수 $\displaystyle \underbrace{(f\circ f\circ\cdots\circ f)}_{2n}(2nx^2)$의 그래프는 이러한 과정을 함수 $\displaystyle h(x)=2nx^2$의 그래프에 $\displaystyle 2n$번 시행하여 얻어 진다. 따라서 합성함수 $\displaystyle \underbrace{(f\circ f\circ\cdots\circ f)}_{2n}(2nx^2)$의 그래프가 $\displaystyle x$축과 만나는 점들의 $\displaystyle x$좌표 중 가장 작은 값이 $\displaystyle -1$이고 가장 큰 값이 $\displaystyle 1$임을 결정할 수 있다.

한편 $\displaystyle \underbrace{(f\circ f\circ\cdots\circ f)}_{2n}(x)=\bigl|\bigl|\cdots\bigl||x-1|-1\bigr|\cdots\bigr|-1\bigr|=0$의 근이 모두 2의 배수인 정수임을 알 수 있다. 자연수 $\displaystyle 2n$에 대하여 문제 (2)와 같이 $\displaystyle y=2nx^2$이 짝수가 되는 닫힌구간 $\displaystyle [-1,1]$의 모든 $\displaystyle x$를 구하면 $\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac{2k}{2n}}\ (k=0,1,\cdots,n)$이다. 따라서 구하는 거리의 합 $\displaystyle S_{2n}$은 $\displaystyle \sum_{k=1}^n2\sqrt{\frac kn}$이며 정적분의 성질을 활용하여 극한값을 구하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_{2n}}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac1{2n}\sum_{k=1}^n2\sqrt{\frac kn}=\int_0^1\sqrt x\,dx=\frac23$ 이다.