자연계열 II 1번

(예시답안) $\displaystyle A=(x,y)$라 하면, $\displaystyle A$는 반지름이 $\displaystyle a$인 원 위의 점이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac xa$, $\displaystyle \sin\theta=\frac ya$를 만족한다. 따라서 $\displaystyle A=(x,y)=(a\cos\theta,a\sin\theta)$이다.

$\displaystyle B=(w,z)$라 하면, $\displaystyle B$는 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선 위의 점이므로 $\displaystyle w=a\cos\theta$이다. 한편, $\displaystyle B$는 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점이므로 $\displaystyle 1=\frac{w^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=\cos^2\theta+\frac{z^2}{b^2}$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle z=\pm b\sin\theta$가 된다. $\displaystyle z>0$이므로 $\displaystyle z=b\sin\theta$가 된다. 따라서 $\displaystyle B=(a\cos\theta,b\sin\theta)$이다.

$\displaystyle C=(u,v)$라 하면, 선분 $\displaystyle BC$가 $\displaystyle x$축에 평행이므로 $\displaystyle v=b\sin\theta$이다. 한편, $\displaystyle A,C$는 직선 $\displaystyle \ell$ 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{u}{b\sin\theta}=\frac uv=\frac xy=\frac{a\cos\theta}{b\sin\theta}$를 만족한다. $\displaystyle u=b\cos\theta$가 되어 $\displaystyle C=(b\cos\theta,b\sin\theta)$이다.Correction. 마지막 분수의 분모 $\displaystyle b\sin\theta$는 $\displaystyle a\sin\theta$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(예시답안) 삼각형 $\displaystyle ABC$는 직각삼각형이고, 선분 $\displaystyle AB$, $\displaystyle BC$의 길이는 각각 $\displaystyle (a-b)\sin\theta$, $\displaystyle (a-b)\cos\theta$이므로 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이는$\displaystyle S(\theta)=\frac12(a-b)\sin\theta\times(a-b)\cos\theta=\frac14(a-b)^2\sin2\theta$가 된다.

구간 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$에서 삼각함수 $\displaystyle \sin2\theta$는 $\displaystyle \theta=\frac\pi4$일 때, 최댓값 $\displaystyle 1$을 가지므로 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac14(a-b)^2$이 된다.

(예시답안) $\displaystyle \lim_{\theta\to0}\frac{S(\theta)}\theta=\lim_{\theta\to0}\frac{(a-b)^2\sin2\theta}{4\theta}=\frac12(a-b)^2$이므로, 조건으로부터$\displaystyle \frac12(a-b)^2=\frac14(a^2+b^2)$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle a^2-4ab+b^2=0$이 성립한다.즉, $\displaystyle \left(\frac ab\right)^2-4\left(\frac ab\right)+1=0$이므로 근의 공식으로부터 $\displaystyle \frac ab=2\pm\sqrt3$이다.$\displaystyle a>b$을 가정하였으므로 $\displaystyle \frac ab=2+\sqrt3$이다.