자연계열 I 1번

(1) 수학적 귀납법을 이용하여 $\displaystyle n$이 자연수이고 $\displaystyle x$가 $\displaystyle -1$보다 같거나 큰 실수이면 다음의 부등식이 성립함을 보여라.$\displaystyle (1+x)^n\ge1+nx$$\displaystyle n$이 1일 때 위의 부등식이 자명하게 성립한다.위의 부등식이 $\displaystyle n=k$일 때 성립한다고 가정하고, $\displaystyle n=k+1$일 때 성립함을 보이자.$\displaystyle (1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)\ge(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\ge1+(k+1)x$따라서 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle n$과 $\displaystyle x\ge-1$에 대하여 $\displaystyle (1+x)^n\ge1+nx$이 성립한다.참고로, 위의 전개식에서, 첫 번째 부등식이 성립하는 이유는 $\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle (1+x)^k\ge1+kx$라고 가정하였고 $\displaystyle 1+x\ge0$이기 때문이며, 두 번째 부등식이 성립하는 이유는 모든 자연수 $\displaystyle k$와 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle kx^2\ge0$이기 때문이다.

(2) $\displaystyle n$이 $\displaystyle 1$보다 큰 홀수이고 $\displaystyle x\ge-2$이면 다음이 성립함을 보여라.$\displaystyle (1+x)^n\ge1+nx$함수 $\displaystyle f(x)=(1+x)^n-nx-1$에 대하여, $\displaystyle x\ge-2$이면 $\displaystyle f(x)\ge0$을 보이면 된다.$\displaystyle f(x)$가 미분가능한 함수이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0$이 성립하는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle -2$와 $\displaystyle 0$이다. 구간 $\displaystyle (-\infty,-2),(-2,0),(0,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호를 계산하면, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=-2$에서 극대값을 가지고 $\displaystyle x=0$에서 극소값을 가짐을 알 수 있다. 그리고 $\displaystyle x\ge-2$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호를 이용하여 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가, 감소를 확인하면, 구간 $\displaystyle (-2,0)$에서 $\displaystyle f(x)$가 감소하고 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가함을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle x\ge-2$일 때 함수 $\displaystyle f(x)$의 최소값은 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=(1+x)^n-nx-1\ge0$이 성립한다.그러므로 $\displaystyle x\ge-2$일 때, 부등식 $\displaystyle (1+x)^n\ge1+nx$이 성립한다.

(3) $\displaystyle x>-1$이면 다음이 성립함을 보여라.$\displaystyle 0<r<1$이면 $\displaystyle (1+x)^r\le1+rx$$\displaystyle r<0$또는 $\displaystyle r>1$이면 $\displaystyle (1+x)^r\ge1+rx$$\displaystyle r$이 $\displaystyle 0$ 또는 $\displaystyle 1$이 아닌 실수일 때, 함수 $\displaystyle f(x)=(1+x)^r-rx-1$는 $\displaystyle x>-1$에서 미분가능하고, 그 도함수는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=r(1+x)^{r-1}-r$이며, $\displaystyle x>-1$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$가 성립하는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle 0$밖에 없음은 자명하다.

$\displaystyle 0<r<1$의 경우: 먼저, $\displaystyle r-1<0$이므로 $\displaystyle g(t)=t^{r-1}$은 $\displaystyle t\in(0,\infty)$에 대하여 감소함수이다.구간 $\displaystyle (-1,0)$에서 $\displaystyle 0<1+x<1$이므로 $\displaystyle 1^{r-1}=1<(1+x)^{r-1}$이 성립하고,$\displaystyle 0<r$이기 때문에 $\displaystyle -1<x<0$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=r\{(1+x)^{r-1}-1\}>0$이다.그리고 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서는 $\displaystyle 1<1+x$이므로 $\displaystyle (1+x)^{r-1}<1$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=r\{(1+x)^{r-1}-1\}<0$이 성립한다.따라서 함수 $\displaystyle f(x)=(1+x)^r-rx-1$는 $\displaystyle x=0$에서 극대이고 최대이다. 그러므로 $\displaystyle x>-1$인 모든 실수에 대하여 $\displaystyle f(x)=(1+x)^r-rx-1\le f(0)=0$이고 부등식 $\displaystyle (1+x)^r\le1+rx$이 성립한다.

$\displaystyle r<0$인 경우: $\displaystyle 0<r<1$의 경우와 마찬가지로 $\displaystyle r-1<-1<0$이기 때문에 $\displaystyle g(t)=t^{r-1}$은 $\displaystyle t\in(0,\infty)$에 대하여 감소함수이다. 그러므로 구간 $\displaystyle (-1,0)$에서 $\displaystyle 1^{r-1}=1<(1+x)^{r-1}$이 성립하고, $\displaystyle r<0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=r\{(1+x)^{r-1}-1\}<0$이다. 또한 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle (1+x)^{r-1}<1$이 성립하고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=r\{(1+x)^{r-1}-1\}>0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)=(1+x)^r-rx-1$는 $\displaystyle x=0$에서 극소이고 최소이다.그러므로 $\displaystyle x>-1$인 모든 실수에 대하여 $\displaystyle f(x)=(1+x)^r-rx-1\ge f(0)=0$이고부등식 $\displaystyle (1+x)^r\ge1+rx$이 성립한다.

$\displaystyle r>1$인 경우: $\displaystyle r-1>0$이기 때문에 $\displaystyle g(t)=t^{r-1}$은 $\displaystyle t\in(0,\infty)$에 대하여 증가함수이다.구간 $\displaystyle (-1,0)$에서 $\displaystyle 0<1+x<1$이므로 $\displaystyle (1+x)^{r-1}<1=1^{r-1}$이 성립하고,$\displaystyle 0<r$이기 때문에 $\displaystyle -1<x<0$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=r\{(1+x)^{r-1}-1\}<0$이다.그리고 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서는 $\displaystyle 1<1+x$이므로 $\displaystyle 1<(1+x)^{r-1}$이고$\displaystyle f^{\prime}(x)=r\{(1+x)^{r-1}-1\}>0$이 성립한다.따라서 함수 $\displaystyle f(x)=(1+x)^r-rx-1$는 $\displaystyle x=0$에서 극소이고 최소이다.그러므로 $\displaystyle x>-1$인 모든 실수에 대하여 $\displaystyle f(x)=(1+x)^r-rx-1\ge f(0)=0$이고부등식 $\displaystyle (1+x)^r\ge1+rx$이 성립한다.