자연계열 I 2번

(1) 평면 $\displaystyle P_t$와 구 $\displaystyle S$가 한 개보다 많은 점에서 만나도록 하는 $\displaystyle t$의 범위를 구하고, 이 범위 안의 실수 $\displaystyle t$에 대하여, $\displaystyle S$와 $\displaystyle P_t$가 만나서 생기는 원 $\displaystyle W_t$의 반지름의 길이를 $\displaystyle f(t)$라고 할 때, $\displaystyle f(t)$를 구하여라.

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CA}_t}=(\vec c+t\vec n)-\vec c=t\vec n$으로, $\displaystyle t\ne0$인 경우는 이 벡터가 평면 $\displaystyle P_t$와 수직이고, 따라서 $\displaystyle \mathrm{A}_t$는 $\displaystyle \mathrm{C}$에서 $\displaystyle P_t$에 내린 수선의 발이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{C}$와 평면 $\displaystyle P_t$와의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}_t}=|t\vec n|=|t|$이다 ($\displaystyle \vec n$은 단위벡터이므로 길이가 $\displaystyle 1$). $\displaystyle t=0$인 경우, $\displaystyle \mathrm{C}=\mathrm{A}_t$이므로 $\displaystyle \mathrm{C}$와 $\displaystyle P_t$의 거리는 $\displaystyle 0=|t|$이다.한 편, 구 $\displaystyle S$상의 임의의 점과 $\displaystyle \mathrm{C}$와의 거리는 1이다. 따라서 $\displaystyle |t|=1$일 때 구와 평면은 접하여 한 개의 점에서 만나고, $\displaystyle |t|>1$일 때 구와 평면은 만나지 않으며, $\displaystyle |t|<1$일 때 구와 평면은 원에서 만난다. 따라서 구하는 범위는 $\displaystyle -1<t<1$이다.

$\displaystyle S$와 $\displaystyle P_t$가 만나 이루는 교선을 $\displaystyle W_t$라 하고, $\displaystyle \mathrm{B}_t$를 $\displaystyle W_t$상의 임의의 점이라고 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}_t$는 $\displaystyle P_t$에 수직이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$와도 수직이다. 또한 $\displaystyle \mathrm{B}_t$는 구 $\displaystyle S$상의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CB}_t}=1$이다. $\displaystyle \angle\mathrm{CA}_t\mathrm{B}_t=\pi/2$이므로, 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_t\mathrm{B}_t}^{\,2}=\overline{\mathrm{CB}_t}^{\,2}-\overline{\mathrm{CA}_t}^{\,2}=1^2-|t|^2=1-t^2$이다. 즉 $\displaystyle \mathrm{A}_t$에서 $\displaystyle W_t$의 임의의 점까지의 거리가 $\displaystyle \sqrt{1-t^2}$로 일정하므로, 원 $\displaystyle W_t$의 중심은 $\displaystyle \mathrm{A}_t$이고 반지름은 $\displaystyle \sqrt{1-t^2}$이다. 따라서 답은 $\displaystyle f(t)=\sqrt{1-t^2}$이다.

(2) 문제(1)에서 구한 범위 안의 실수 $\displaystyle t$에 대하여, 구 $\displaystyle S$로 둘러싸인 영역을 평면 $\displaystyle P_t$가 두 부분으로 나눈다. 이 두 부분의 부피를 구하여 $\displaystyle t$에 관한 식으로 표현하여라.

직선 $\displaystyle l$을 축으로 생각하자. 점 $\displaystyle \mathrm{A}_t$는 점 $\displaystyle \mathrm{C}$로부터 단위벡터 $\displaystyle \vec n$방향으로 길이 $\displaystyle t$만큼 간 곳에 위치해 있다 (이 때, $\displaystyle t$가 음수면 $\displaystyle -\vec n$방향으로 길이 $\displaystyle |t|$만큼 갔다고 여기면 된다). $\displaystyle l$상의 이 점 $\displaystyle \mathrm{A}_t$에서 우리가 부피를 구하고자 하는 영역의 수직 단면은 반지름 $\displaystyle f(t)$인 원이므로, 넓이가 $\displaystyle \pi\cdot f(t)^2=\pi(1-t^2)$이다. 따라서 영역의 부피는 이 넓이 식을 범위에 맞게 적분하면 된다.편의를 위하여 $\displaystyle t$대신 $\displaystyle s$를 쓰자. 즉 $\displaystyle l$상에서 $\displaystyle \vec n$방향으로 길이 $\displaystyle s$만큼 간 곳에서의 단면 넓이는 $\displaystyle \pi(1-s^2)$이다. 첫 째 영역은 $\displaystyle s$가 $\displaystyle t$에서 $\displaystyle 1$까지 움직일 때이므로 부피가 $\displaystyle \int_t^1\pi(1-s^2)ds$이고, 계산하면 $\displaystyle \Biggl[\pi\left(s-\frac{s^3}3\right)\Biggr]_t^1=\pi\left(\frac23-t+\frac{t^3}3\right)$이다. 나머지 영역은 $\displaystyle s$가 $\displaystyle -1$에서 $\displaystyle t$까지 움직이므로, 부피는$\displaystyle \int_{-1}^t\pi(1-s^2)ds=\Biggl[\pi\left(s-\frac{s^3}3\right)\Biggr]_{-1}^t=\pi\left(\frac23+t-\frac{t^3}3\right)$이다 (혹은 구의 부피 $\displaystyle \frac43\pi$에서 첫 번째 부피를 빼도 된다).따라서 부피는 각기 $\displaystyle \pi\left(\frac23-t+\frac{t^3}3\right)$과 $\displaystyle \pi\left(\frac23+t-\frac{t^3}3\right)$이다.

(3) $\displaystyle f(t)$가 $\displaystyle t=t_0$에서 최대라 할 때 평면 $\displaystyle P_{t_0}$로 나누어진 구 $\displaystyle S$의 조각 중 점 $\displaystyle (0,0,11)$을 포함하는 조각을 $\displaystyle xy$평면으로 정사영하여 얻어지는 도형의 넓이를 구하여라(단, 이 조각은 원 $\displaystyle W_{t_0}$를 포함하는 것으로 생각함).

$\displaystyle f(t)=\sqrt{1-t^2},\ -1<t<1.$ 이 때 $\displaystyle t^2\ge0$이 항상 성립하여 $\displaystyle 1-t^2\le1$이고, 등호가 $\displaystyle t=0$일 때만 성립하므로, 우리의 범위 내에서 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=0$일 때 최댓값 $\displaystyle 1$을 갖는다. 따라서 $\displaystyle t_0=0$이다. $\displaystyle t=t_0=0$일 때 평면 $\displaystyle P_{t_0}$는 구의 중심인 $\displaystyle \mathrm{C}=\mathrm{A}$를 지나므로, $\displaystyle P_{t_0}$가 구 $\displaystyle S$를 두 반구로 나눔을 알 수 있고, 점 $\displaystyle (0,0,11)$은 두 반구 중 $\displaystyle P_{t_0}$의 위쪽에 위치한 반구임을 알 수 있다.

이 위쪽 반구는 $\displaystyle z=10$인 평면과 $\displaystyle yz$평면에 의해 그림과 같이 세 부분 [1], [2], [3]으로 나뉜다. (여기서 $\displaystyle z=10$평면은 $\displaystyle \mathrm{C}$를 지나며 $\displaystyle xy$평면에 평행하고, $\displaystyle yz$평면은 $\displaystyle \mathrm{C}$를 지나며 $\displaystyle xy$평면 및 $\displaystyle z=10$평면에 수직이다.) 그림의 [2] 부분의 $\displaystyle xy$평면으로의 정사영은 [2]의 밑면에 해당하는 반원꼴 도형을 $\displaystyle xy$평면으로 정사영한 것과 같고, 이 밑면은 $\displaystyle xy$평면과 평행한 $\displaystyle z=10$평면상의 도형이므로, $\displaystyle xy$평면으로의 정사영 넓이는 이 밑면 넓이 그대로이다. 이 밑면은 $\displaystyle z=10$평면 내에서 반지름이 $\displaystyle 1$인 원의 반원 부분이므로, 넓이가 $\displaystyle \pi\cdot1^2\cdot\frac12=\frac\pi2$이다.[3]의 정사영은 [2]의 정사영에 포함되므로, 고려하지 않아도 된다. [1]의 정사영은 [1]의 밑면의 정사영과 같다. [1]의 밑면은 평면 $\displaystyle P_{t_0}$상의 반지름 $\displaystyle 1$인 원의 반원 부분이므로, 넓이가 $\displaystyle \frac\pi2$이다. 평면 $\displaystyle P_{t_0}$의 법선벡터 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}(1,0,1)$와 $\displaystyle xy$평면의 법선벡터 $\displaystyle (0,0,1)$를 이용하여, $\displaystyle P_{t_0}$와 $\displaystyle xy$평면 사이의 이면각 $\displaystyle \theta$를 구하면$\displaystyle \cos\theta=\frac{\frac1{\sqrt2}(1,0,1)\cdot(0,0,1)}{\left|\frac1{\sqrt2}(1,0,1)\right||(0,0,1)|}=\frac{\frac1{\sqrt2}}{\frac1{\sqrt2}\sqrt{1^2+1^2}\sqrt{1^2}}=\frac1{\sqrt2}.$

따라서 [1]의 밑면의 $\displaystyle xy$평면으로의 정사영의 넓이는 [1]의 밑면의 넓이와 $\displaystyle \cos\theta$의 곱인 $\displaystyle \frac\pi2\cdot\frac1{\sqrt2}$이다.

따라서 문제의 반구의 $\displaystyle xy$평면으로의 정사영의 넓이는 $\displaystyle \frac\pi2+\frac\pi2\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac{2+\sqrt2}4\pi$이다.