자연계열 II 3번

(1) 선분 밖의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle y$축의 점이고 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$가 되도록 선분 $\displaystyle I$의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$를 선택할 수 있을 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 집합을 $\displaystyle J$라 하자. 집합 $\displaystyle J\cup\{(0,0,0)\}$이 나타내는 그림의 길이를 구하여라.

먼저 $\displaystyle y$축의 점이고 선분 $\displaystyle I$의 양 끝점을 선택하여 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$가 되도록 하는 점 $\displaystyle (0,\pm m,0)(m>0)$을 찾으면 $\displaystyle m$이 밑변의 길이가 $\displaystyle 10$이고 두 밑각이 $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$인 이등변 삼각형의 높이이다. 꼭지점 $\displaystyle (0,m,0)$은 $\displaystyle \tan\frac{5\pi}{12}=\frac m5$을 만족한다. 탄젠트함수의 덧셈공식에 따라$\displaystyle m=5\tan\frac{5\pi}{12}=5\tan\left(\frac\pi4+\frac\pi6\right)=5\left(\frac{\tan\frac\pi4+\tan\frac\pi6}{1-\tan\frac\pi4\tan\frac\pi6}\right)=5\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)$이다.$\displaystyle y$축의 점 $\displaystyle (0,a,0)\left(|a|>5\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)\right)$을 선택하면 선분 $\displaystyle I$의 양 끝점을 선택하였을 때 $\displaystyle \theta$가 가장 큰 각이 되고 점 $\displaystyle (0,a,0)$과 선분 $\displaystyle I$의 양 끝점이 두 밑각이 $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$보다 큰 이등변 삼각형이 되므로 집합 $\displaystyle J$의 원소가 아니다.$\displaystyle y$축의 점 $\displaystyle (0,a,0)\left(0<|a|<5\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)\right)$을 선택하면 닮음꼴의 성질을 활용하여 높이가 $\displaystyle |a|$이고 두 밑각이 $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$인 이등변 삼각형이 되는 선분의 두 점 $\displaystyle \left(\frac{-|a|(\sqrt3-1)}{\sqrt3+1},0,0\right)$, $\displaystyle \left(\frac{|a|(\sqrt3-1)}{\sqrt3+1},0,0\right)$을 선분 $\displaystyle I$에서 선택할 수 있다.따라서 구하는 집합 $\displaystyle J$는 $\displaystyle J=\left\{(0,y,0)\mid0<|y|\le5\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)\right\}$이고$\displaystyle J\cup\{(0,0,0)\}$의 나타내는 그림의 길이는 $\displaystyle 10\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)$이다.

(2) 선분 밖의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle yz$평면에 있고 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$가 되도록 선분 $\displaystyle I$위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$를 선택할 수 있을 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 집합을 $\displaystyle S$라 하자. 집합 $\displaystyle S\cup\{(0,0,0)\}$이 나타내는 그림의 넓이를 구하여라.

$\displaystyle yz$평면과 선분$\displaystyle I$를 포함하는 $\displaystyle x$축이 수직이므로 $\displaystyle yz$평면의 한점 $\displaystyle (0,a,b)$와 $\displaystyle x$축의 선분 $\displaystyle I$의 두점에 대한 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$에 관한 문제는 $\displaystyle (0,a,b)$를 $\displaystyle x$축을 중심으로 회전하여 $\displaystyle y$축의 점으로 옮겨서 문제 (1)과 같이 풀 수 있다. 따라서 집합 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S=\left\{(0,a,b)\mid0<a^2+b^2\le25\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)^2\right\}$이다.그러므로 $\displaystyle S\cup\{(0,0,0)\}$의 넓이는 $\displaystyle 25\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)^2\pi$이다.

(3) 선분 밖의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle xy$평면에 있고 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$가 되도록 선분 $\displaystyle I$위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$를 선택할 수 있을 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 집합을 $\displaystyle U$라 하자. 집합 $\displaystyle U\cup I$이 나타내는 그림의 넓이를 구하여라.

먼저 선분 $\displaystyle I$의 양 끝점을 선택하여 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$가 되도록 하는 $\displaystyle xy$평면의 점들을 찾으면 원주각의 성질에 의하여 선분 $\displaystyle I$를 현으로 하고 원주각이 $\displaystyle \frac\pi6$이 되는 원위의 점들이다. 중심각이 $\displaystyle \frac\pi3$이므로 구하는 원은 반지름이 $\displaystyle 10$이고 중심이 $\displaystyle (0,\pm5\sqrt3,0)$이다. 따라서 대응되는 점들의 집합은$\displaystyle B=\{(x,y,0)\mid x^2+(y-5\sqrt3)^2=10^2,y>0\}\cup\{(x,y,0)\mid x^2+(y+5\sqrt3)^2=10^2,y<0\}$이고 집합 $\displaystyle B$의 모든 원소가 $\displaystyle U$에 속한다.$\displaystyle xy$-평면의 점 중에서 $\displaystyle B\cup\{(-5,0,0),(5,0,0)\}$외부의 한 점을 잡으면 선분 $\displaystyle I$의 양 끝점을 잡을 때 $\displaystyle \theta$가 가장 크고 집합 $\displaystyle B\cup\{(-5,0,0),(5,0,0)\}$의 밖에 있으므로 원주각의 성질에 따라 $\displaystyle \theta<\frac\pi6$이다.따라서 이들 점은 집합 $\displaystyle U$의 원소가 아니다.$\displaystyle xy$-평면의 점 중에서 $\displaystyle B\cup\{(-5,0,0),(5,0,0)\}$의 내부에 있고 선분밖에 있는 점의 집합$\displaystyle C=\{(x,y,0)\mid x^2+(y-5\sqrt3)^2<10^2,y>0\}\cup\{(x,y,0)\mid x^2+(y+5\sqrt3)^2<10^2,y<0\}$이다.

이제 집합 $\displaystyle C$의 임의의 한 점 $\displaystyle (\alpha,\beta,0)\ \beta>0$이 집합 $\displaystyle U$의 원소인 것을 다음과 같이 보인다. 닮음꼴을 활용하면 이 점이 반지름이 $\displaystyle 10l$이고 중심이 $\displaystyle (0,5\sqrt3l,0)$인 $\displaystyle xy$평면의 원의 점이고 선분 $\displaystyle I$의 두 점 $\displaystyle (-5l,0,0),(5l,0,0)$을 현의 끝점으로 할 때 원주각 $\displaystyle \frac\pi6$이 됨을 알 수 있다. 주어진 조건의 $\displaystyle l$이 $\displaystyle 0<l<1$인 것을 확인하기 위하여 원의 방정식 $\displaystyle \alpha^2+(\beta-5\sqrt3l)^2=(10l)^2$를 풀어서$\displaystyle f(l)=25l^2+10\sqrt3\beta l-(\alpha^2+\beta^2)$가 $\displaystyle 0<l<1$인 근을 가지는 것을 보이기로 한다. $\displaystyle f(0)=-(\alpha^2+\beta^2)<0$이고 점 $\displaystyle (\alpha,\beta,0)\ \beta>0$가 집합 $\displaystyle C$의 원소이므로 $\displaystyle f(1)=25+10\sqrt3\beta-(\alpha^2+\beta^2)=10^2-\alpha^2-(\beta-5\sqrt3)^2>0$이다.따라서 $\displaystyle 0<l<1$인 근이 존재한다. 같은 이유로 $\displaystyle C$의 한점 $\displaystyle (\alpha,\beta,0)\ \beta<0$도 $\displaystyle U$의 원소이다.

따라서 구하는 집합 $\displaystyle U$는 집합 $\displaystyle B\cup C$이다. 집합 $\displaystyle U\cup I$은 위 그림처럼 나타나며 반지름 10이고 원주각 $\displaystyle \frac{5\pi}3$인 부채꼴 두 개와 한 변의 길이가 10인 정삼각형이 두 개 있는 모양으로 분해 할 수 있다. 따라서Correction. 부채꼴을 설명하는 “원주각”은 “중심각”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 2\left(\frac1210^2\frac{5\pi}3+\frac12\frac{\sqrt3}210^2\right)=100\left(\frac{5\pi}3+\frac{\sqrt3}2\right)$이다.