자연계열 I 3번

(1) 선분 밖의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle y$축의 점이고 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$가 되도록 선분 $\displaystyle I$의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$를 선택할 수 있을 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 집합을 $\displaystyle J$라 하자. 집합 $\displaystyle J\cup\{(0,0)\}$이 나타내는 그림의 길이를 구하여라.

(ⅰ) 선분 $\displaystyle I$의 양 끝 점을 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$로 각각 선택하고, $\displaystyle \theta=\frac\pi6$가 되도록 $\displaystyle y$축의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(0,\pm m)(m>0)$을 잡으면 $\displaystyle m$은 밑변의 길이가 $\displaystyle 10$이고 두 밑각의 크기가 $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$인 이등변삼각형의 높이이다.따라서 꼭지점 $\displaystyle (0,m)$은 $\displaystyle \tan\frac{5\pi}{12}=\frac m5$을 만족하므로 삼각함수의 덧셈정리에 따라$\displaystyle m=5\tan\frac{5\pi}{12}=5\tan\left(\frac\pi4+\frac\pi6\right)=5\left(\frac{\tan\frac\pi4+\tan\frac\pi6}{1-\tan\frac\pi4\tan\frac\pi6}\right)=5\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)$

(ⅱ) $\displaystyle y$축의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(0,a)\left(|a|>5\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)\right)$을 선택하면 선분 $\displaystyle I$의 양 끝 점을 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$로 각각 선택하였을 때 $\displaystyle \theta$의 크기가 가장 크다. 이때 $\displaystyle \triangle\mathrm{PAB}$는 두 밑각의 크기가 $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$보다 큰 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \theta<\frac\pi6$이다. 따라서 이때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 집합 $\displaystyle J$의 원소가 아니다.

(ⅲ) $\displaystyle y$축의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(0,a)\left(0<|a|<5\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)\right)$을 선택하면 닮은꼴의 성질을 활용하여 $\displaystyle \triangle\mathrm{PAB}$가 높이가 $\displaystyle |a|$이고 두 밑각의 크기가 $\displaystyle \frac{5\pi}{12}$인 이등변삼각형이 되도록 선분 $\displaystyle I$의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$를 잡을 수 있다.$\displaystyle 5:5\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)=x:|a|$에서 $\displaystyle x=\frac{|a|(\sqrt3-1)}{\sqrt3+1}$이므로 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$의 좌표는 각각$\displaystyle \mathrm{A}\left(\frac{-|a|(\sqrt3-1)}{\sqrt3+1},0\right),\mathrm{B}\left(\frac{|a|(\sqrt3-1)}{\sqrt3+1},0\right)$따라서 구하는 집합 $\displaystyle J$는 $\displaystyle J=\left\{(0,y)\mid0<|y|\le5\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)\right\}$

(ⅰ)~(ⅲ)에서 $\displaystyle J\cup\{(0,0)\}$이 나타내는 그림의 길이는 $\displaystyle 10\left(\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\right)$이다.

(2) 선분 $\displaystyle I$의 양 끝점 $\displaystyle (-5,0)$, $\displaystyle (5,0)$와 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$가 되는 선분 밖의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 집합을 $\displaystyle S$라 하자. 집합 $\displaystyle S\cup\{(-5,0),(5,0)\}$이 나타내는 그림의 길이를 구하여라.

선분 $\displaystyle I$의 양 끝점을 선택하여 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$가 되도록 하는 좌표평면의 점들을 찾으면 이 점들은 원주각의 성질에 의하여 선분 $\displaystyle I$를 현으로 하고 원주각이 $\displaystyle \frac\pi6$이 되는 원위의 점들이다. 이때 원의 중심은 $\displaystyle (0,\pm5\sqrt3)$이고, 반지름의 길이는 $\displaystyle 10$이므로 구하는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 집합은$\displaystyle S=\{(x,y)\mid x^2+(y-5\sqrt3)^2=10^2,y>0\}\cup\{(x,y)\mid x^2+(y+5\sqrt3)^2=10^2,y<0\}$

따라서 집합 $\displaystyle S\cup\{(-5,0),(5,0)\}$이 나타내는 그림은 반지름의 길이가 $\displaystyle 10$이고 중심각이 $\displaystyle \frac{5\pi}3$인 호 두 개가 붙어 있는 형태이므로 구하는 길이는 $\displaystyle 2\left(10\frac{5\pi}3\right)=\frac{100\pi}3$이다.

(3) 선분 밖의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$가 되도록 선분 $\displaystyle I$의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$를 선택할 수 있을 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 집합 $\displaystyle V$의 원소라 하자. 집합 $\displaystyle V\cup I$를 나타내는 그림의 넓이를 구하여라.

문제(2)에서 구한 $\displaystyle S\cup\{(-5,0),(5,0)\}$의 내부 중 선분 $\displaystyle I$밖에 있는 점들의 집합은$\displaystyle B=\{(x,y)\mid x^2+(y-5\sqrt3)^2<10^2,y>0\}\cup\{(x,y)\mid x^2+(y+5\sqrt3)^2<10^2,y<0\}$이다.

(ⅰ) 집합 $\displaystyle S\cup\{(-5,0),(5,0)\}$외부의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 잡으면 선분 $\displaystyle I$의 양 끝 점을 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$로 잡을 때 $\displaystyle \theta$의 크기가 가장 크다. 이때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 집합 $\displaystyle S\cup\{(-5,0),(5,0)\}$의 밖에 있으므로 원주각의 성질에 따라 $\displaystyle \theta<\frac\pi6$이다. 따라서 이들 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 집합 $\displaystyle V$의 원소가 아니다.

(ⅱ) 이제 집합 $\displaystyle B$의 임의의 한 점 $\displaystyle \mathrm{P}(\alpha,\beta)\ (\beta>0)$가 집합 $\displaystyle V$의 원소인 것을 다음과 같이 보인다. 문제 (2)와 닮음꼴의 성질을 활용하면 이 점이 반지름의 길이가 $\displaystyle 10l$이고 중심이 $\displaystyle (0,5\sqrt3l)$인 원위의 점이고 선분 $\displaystyle I$의 두 점 $\displaystyle (-5l,0),(5l,0)$을 현의 끝점으로 할 때 원주각 $\displaystyle \frac\pi6$이 됨을 알 수 있다.주어진 조건의 $\displaystyle l$이 $\displaystyle 0<l<1$인 것을 확인하기 위하여 원의 방정식$\displaystyle \alpha^2+(\beta-5\sqrt3l)^2=(10l)^2$을 정리하면 $\displaystyle 25l^2+10\sqrt3\beta l-(\alpha^2+\beta^2)=0$$\displaystyle f(l)=25l^2+10\sqrt3\beta l-(\alpha^2+\beta^2)$로 두고 방정식 $\displaystyle f(l)$이 $\displaystyle 0<l<1$인 근을 가지는 것을 보이기로 한다.$\displaystyle f(0)=-(\alpha^2+\beta^2)<0$이고 $\displaystyle (\alpha,\beta)\ (\beta>0)$가 집합 $\displaystyle B$의 원소이므로$\displaystyle f(1)=25+10\sqrt3\beta-(\alpha^2+\beta^2)=10^2-\alpha^2-(\beta-5\sqrt3)^2>0$이다.따라서 $\displaystyle 0<l<1$인 근이 존재한다.같은 이유로 $\displaystyle B$의 점 $\displaystyle (\alpha,\beta)\ (\beta<0)$도 $\displaystyle V$의 원소이다.

따라서 구하는 집합 $\displaystyle V$는 집합 $\displaystyle B\cup S$이고 $\displaystyle V\cup I$는 오른쪽 그림처럼 나타나며 반지름 10이고 원주각 $\displaystyle \frac{5\pi}3$인 부채꼴 두 개와 한 변의 길이가 $\displaystyle 10$인 정삼각형이 두 개 있는 모양으로 분해 할 수 있다.Correction. 부채꼴을 설명하는 “원주각”은 “중심각”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle 2\left(\frac1210^2\frac{5\pi}3+\frac12\frac{\sqrt3}210^2\right)=100\left(\frac{5\pi}3+\frac{\sqrt3}2\right)$이다.