자연계열 II 2번

(1) 평면 $\displaystyle P_t$와 구 $\displaystyle S$가 한 개보다 많은 점에서 만나도록 하는 $\displaystyle t$의 범위를 구하고, 이 범위 안의 실수 $\displaystyle t$에 대하여, $\displaystyle S$와 $\displaystyle P_t$가 만나서 생기는 원 $\displaystyle W_t$의 반지름의 길이를 $\displaystyle f(t)$라고 할 때, $\displaystyle f(t)$를 구하여라.

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CA}_t}=(\vec c+t\vec v)-\vec c=t\vec v$으로, $\displaystyle t\ne0$이면 이 벡터가 평면 $\displaystyle P_t$와 수직이고, 따라서 $\displaystyle \mathrm{A}_t$는 $\displaystyle \mathrm{C}$에서 $\displaystyle P_t$에 내린 수선의 발이다. $\displaystyle \mathrm{C}$와 평면 $\displaystyle P_t$와의 거리는 $\displaystyle |t\vec v|=|t||\vec v|=|t|\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt3|t|$이다. $\displaystyle t=0$인 경우에는 $\displaystyle \mathrm{C}=\mathrm{A}_t$이므로 $\displaystyle \mathrm{C}$와 $\displaystyle P_t$의 거리는 $\displaystyle 0=\sqrt3|t|$이다.

한 편, 구 $\displaystyle S$상의 임의의 점과 $\displaystyle \mathrm{C}$와의 거리는 1이다. 따라서 $\displaystyle \sqrt3|t|<1$일 때만 구와 평면은 원에서 만난다. 따라서 구하는 범위는 $\displaystyle -\frac1{\sqrt3}<t<\frac1{\sqrt3}$이다.

$\displaystyle S$와 $\displaystyle P_t$가 만나 이루는 교선을 $\displaystyle W_t$라 하고, $\displaystyle \mathrm{B}_t$를 $\displaystyle W_t$상의 임의의 점이라고 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}_t$는 $\displaystyle P_t$에 수직이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$와도 수직이다. 또한 $\displaystyle \mathrm{B}_t$는 구 $\displaystyle S$상의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CB}_t}=1$이다. $\displaystyle \angle\mathrm{CA}_t\mathrm{B}_t=\pi/2$이므로, 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_t\mathrm{B}_t}^{\,2}=\overline{\mathrm{CB}_t}^{\,2}-\overline{\mathrm{CA}_t}^{\,2}=1^2-|\sqrt3t|^2=1-3t^2$이다. 즉 $\displaystyle \mathrm{A}_t$에서 $\displaystyle W_t$의 임의의 점까지의 거리가 $\displaystyle \sqrt{1-3t^2}$로 일정하므로, 원 $\displaystyle W_t$의 중심은 $\displaystyle \mathrm{A}_t$이고 반지름은 $\displaystyle \sqrt{1-3t^2}$이다. 따라서 답은 $\displaystyle f(t)=\sqrt{1-3t^2}$이다.

(2) 문제(1)에서 구한 범위 안의 실수 $\displaystyle t$에 대하여, 구 $\displaystyle S$로 둘러싸인 영역을 평면 $\displaystyle P_t$가 두 부분으로 나눈다. 이 두 부분의 부피를 구하여 $\displaystyle t$에 관한 식으로 표현하여라.

직선 $\displaystyle l$을 축으로 생각하자. $\displaystyle t\ge0$이면 점 $\displaystyle \mathrm{A}_t$는 점 $\displaystyle \mathrm{C}$로부터 벡터 $\displaystyle \vec v$ 방향으로 길이 $\displaystyle |t\vec v|=\sqrt3|t|$만큼 간 곳에 위치해 있고, $\displaystyle t<0$이면 $\displaystyle -\vec v$ 방향으로 길이 $\displaystyle \sqrt3|t|$만큼 간 곳에 있다. $\displaystyle s=\sqrt3t$라고 두자. 직선 $\displaystyle l$상에서 $\displaystyle \mathrm{C}$로부터 $\displaystyle \vec v$ 방향으로 길이 $\displaystyle s$만큼의 위치에 $\displaystyle \mathrm{A}_t$가 있다고 할 수 있다. $\displaystyle s$가 음수면 반대인 $\displaystyle -\vec v$ 방향으로 길이 $\displaystyle |s|$만큼 간 것으로 이해한다.$\displaystyle l$상의 이 점 $\displaystyle \mathrm{A}_t$에서 우리가 부피를 구하고자 하는 영역의 수직 단면은 반지름 $\displaystyle f(t)$인 원이므로, 넓이가 $\displaystyle \pi\cdot f(t)^2=\pi(1-3t^2)=\pi(1-s^2)$이다. 영역의 부피는 이 넓이 식을 범위에 맞게 적분하면 된다.첫째 영역은 $\displaystyle s$가 $\displaystyle \sqrt3t$에서 $\displaystyle 1$까지 움직일 때이므로 부피가 $\displaystyle \int_{\sqrt3t}^1\pi(1-s^2)ds$이고, 계산하면$\displaystyle \Biggl[\pi\left(s-\frac{s^3}3\right)\Biggr]_{\sqrt3t}^1=\pi\left(\frac23-\sqrt3t+\sqrt3t^3\right)$이다. 나머지 영역은 구의 부피 $\displaystyle \frac43\pi$에서 첫 번째 부피를 빼면 된다.따라서 부피는 각기 $\displaystyle \pi\left(\frac23-\sqrt3t+\sqrt3t^3\right)$과 $\displaystyle \pi\left(\frac23+\sqrt3t-\sqrt3t^3\right)$이다.

(3) $\displaystyle f(t_0)=\frac{\sqrt6}3$인 양수 $\displaystyle t_0$에 대하여 평면 $\displaystyle P_{t_0}$로 나누어진 구 $\displaystyle S$의 조각 중 평면 $\displaystyle P_{t_0}$에서 벡터 $\displaystyle \vec v$ 방향에 위치한 조각을 $\displaystyle xy$평면으로 정사영하여 얻어지는 도형의 넓이를 구하여라(단, 이 조각은 원 $\displaystyle W_{t_0}$를 포함하는 것으로 생각함).

$\displaystyle f(t_0)=\sqrt{1-3t_0^2}=\frac{\sqrt6}3$이면 $\displaystyle 1-3t_0^2=\frac69$여서 $\displaystyle t_0^2=\frac19$이므로, $\displaystyle t_0=\frac13$이다 ($\displaystyle t_0>0$). $\displaystyle \mathrm{C}$와 $\displaystyle P_{t_0}$의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}_{t_0}}=\sqrt3|t_0|=\frac1{\sqrt3}$이다. 편의상 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{A}_{t_0}$, $\displaystyle P=P_{t_0}$, $\displaystyle W=W_{t_0}$로 표기하자.$\displaystyle \mathrm{C}$를 지나는 평면 $\displaystyle z=10$과 평면 $\displaystyle P$의 교선을 $\displaystyle m$이라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에서 $\displaystyle m$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{F}$라고 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm{AF}$는 평면 $\displaystyle P$에 속해 있으며 선분 $\displaystyle \mathrm{CF}$는 $\displaystyle z=10$평면에 속해 있고, 두 선분이 모두 $\displaystyle m$에 수직이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{AF}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{CF}$의 사잇각은 평면 $\displaystyle P$와 $\displaystyle z=10$평면의 이면각 $\displaystyle \theta$와 같다. 평면 $\displaystyle z=10$의 법선벡터 $\displaystyle (0,0,1)$과 평면 $\displaystyle P$의 법선벡터 $\displaystyle (1,1,1)$을 이용하면 $\displaystyle \cos\theta=\frac{(0,0,1)\cdot(1,1,1)}{|(0,0,1)||(1,1,1)|}=\frac1{\sqrt3}$을 얻는다.$\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}$와 $\displaystyle \cos\theta$, $\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt2/\sqrt3$를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{CF}}=1/\sqrt2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}}=1/\sqrt6$를 얻는다. 구 $\displaystyle S$와 평면 $\displaystyle z=10$의 교선은 $\displaystyle \mathrm{C}$를 중심으로 하고 반지름이 $\displaystyle 1$인 원 $\displaystyle U$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{CF}}=1/\sqrt2<1$이므로, 그림과 같이 평면 $\displaystyle z=10$상에서 $\displaystyle \mathrm{F}$가 $\displaystyle U$의 내부에 위치한다.

직선 $\displaystyle m$을 포함하며 평면 $\displaystyle z=10$에 수직인 평면을 $\displaystyle R$이라 하자. $\displaystyle xy$평면으로의 정사영의 넓이를 구하고자 하는 구의 조각은 평면 $\displaystyle z=10$과 평면 $\displaystyle R$에 의하여 세 부분 [1], [2], [3]으로 그림과 같이 나뉜다. [3]의 정사영은 [2]의 정사영에 포함된다. [2]의 정사영은, [2]의 밑면에 해당하는 활꼴 도형의 정사영과 같으며, [1]의 정사영은 [1]의 밑면에 해당하는 활꼴 도형의 정사영과 같다.

[2] 부분의 밑면은 원 $\displaystyle U$내부에서 그림의 빗금친 부분이다. 직선 $\displaystyle m$과 이 원의 교점들을 $\displaystyle \mathrm{I},\mathrm{J}$라 하자. $\displaystyle \angle\mathrm{ICF}=\alpha$라고 두면, $\displaystyle \cos\alpha=1/\sqrt2$로부터 $\displaystyle \alpha=\pi/4$를 얻는다. 따라서 각 $\displaystyle 2\alpha$에 해당하는 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{CIJ}$의 넓이는 $\displaystyle \pi\cdot1^2\cdot(2\alpha)/(2\pi)=\pi/4$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{FI}}=\sin\alpha=1/\sqrt2$이며, $\displaystyle \angle\mathrm{JCF}=\alpha$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{JF}}=\sin\alpha=1/\sqrt2$이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CIJ}$의 넓이는 $\displaystyle (2/\sqrt2)\cdot(1/\sqrt2)\cdot(1/2)=1/2$이고, 구하고자 하는 활꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac\pi4-\frac12$이다. 한편 평면 $\displaystyle z=10$은 $\displaystyle xy$평면과 평행이므로, [2]의 밑면의 $\displaystyle xy$평면으로의 정사영의 넓이 역시 $\displaystyle \frac\pi4-\frac12$이다.Correction. 두 활꼴 그림의 위치가 서로 바뀌어 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[1]의 밑면은 원 $\displaystyle W$의 내부에서 그림의 빗금친 부분이다. $\displaystyle \angle\mathrm{IAF}=\angle\mathrm{JAF}=\beta$라고 두면, $\displaystyle \cos\beta=\frac{1/\sqrt6}{\sqrt6/3}=\frac12$이므로 $\displaystyle \beta=\pi/3$이다. 각도 $\displaystyle 2\pi-\beta$에 해당하는 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{AIJ}$의 넓이는 $\displaystyle \pi\left(\frac{\sqrt6}3\right)^2\cdot\frac{2\pi-2\cdot(\pi/3)}{2\pi}=\frac49\pi$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{IJ}}=2/\sqrt2=\sqrt2$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AIJ}$의 넓이는 $\displaystyle \sqrt2\cdot(1/\sqrt6)\cdot(1/2)=\sqrt3/6$이고, 따라서 빗금친 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac49\pi+\frac{\sqrt3}6$이다. 평면 $\displaystyle P$와 $\displaystyle xy$평면의 이면각 $\displaystyle \theta$에 대하여 $\displaystyle \cos\theta=1/\sqrt3$이 성립하므로, ([1]의 밑면의 $\displaystyle xy$평면으로의 정사영의 넓이)=([1]의 밑면의 넓이)$\displaystyle \cdot\cos\theta=\left(\frac49\pi+\frac{\sqrt3}6\right)\cdot\frac1{\sqrt3}$.Correction. 부채꼴의 중심각 $\displaystyle 2\pi-\beta$는 $\displaystyle 2\pi-2\beta$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

답은 [2]의 정사영의 넓이와 [1]의 정사영의 넓이의 합인 $\displaystyle \pi\left(\frac14+\frac{4\sqrt3}{27}\right)-\frac13$이다.