자연계열 II 1번

(1) 수학적 귀납법을 이용하여 $\displaystyle n$이 자연수이고 $\displaystyle x$가 $\displaystyle -1$보다 같거나 큰 실수이면 다음의 부등식이 성립함을 보여라.$\displaystyle (1+x)^n\ge1+nx$$\displaystyle n$이 1일 때 위의 부등식이 자명하게 성립한다.위의 부등식이 $\displaystyle n=k$일 때 성립한다고 가정하고, $\displaystyle n=k+1$일 때 성립함을 보이자.$\displaystyle (1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)\ge(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\ge1+(k+1)x$따라서 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle n$과 $\displaystyle x\ge-1$에 대하여 $\displaystyle (1+x)^n\ge1+nx$이 성립한다.참고로, 위의 전개식에서, 첫 번째 부등식이 성립하는 이유는 $\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle (1+x)^k\ge1+kx$라고 가정하였고 $\displaystyle 1+x\ge0$이기 때문이며, 두 번째 부등식이 성립하는 이유는 모든 자연수 $\displaystyle k$와 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle kx^2\ge0$이기 때문이다.

(2) $\displaystyle n$이 임의의 자연수일 때, 위의 부등식을 이용하여 다음이 성립함을 보여라.$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n\le\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}$

임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 1\le\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}$을 보이자.$\displaystyle \begin{aligned}\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}&=\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}\cdot\left(1+\frac1n\right)=\left(\frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}n}\right)^{n+1}\cdot\left(1+\frac1n\right)\\&=\left(\frac{n^2+2n+1-1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\cdot\left(1+\frac1n\right)\\&=\left(1+\frac{-1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\cdot\left(1+\frac1n\right)\end{aligned}$이고,$\displaystyle x=-\frac1{(n+1)^2}>-1$에 대하여 (1)의 부등식에 의하여$\displaystyle \left(1+\frac{-1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge1+(n+1)\cdot\frac{-1}{(n+1)^2}=1-\frac1{(n+1)}$이 성립한다.그러므로 $\displaystyle \frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac{-1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\cdot\left(1+\frac1n\right)\ge\left(1-\frac1{n+1}\right)\cdot\left(1+\frac1n\right)=\frac n{n+1}\cdot\frac{n+1}n=1$이 참이고, 부등식 $\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n\le\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}$이 성립한다.

(3) 임의의 두 자연수 $\displaystyle m$과 $\displaystyle n$에 대하여 다음이 성립함을 보여라.$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n<\left(1+\frac1m\right)^{m+1}$

$\displaystyle n=m$인 경우: $\displaystyle 1<1+\frac1m$이므로$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n=\left(1+\frac1m\right)^m<\left(1+\frac1m\right)^m\cdot\left(1+\frac1m\right)=\left(1+\frac1m\right)^{m+1}$이 성립한다.

$\displaystyle n<m$인 경우: $\displaystyle m=n+k$이면 (2)의 부등식에 의하여$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n\le\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}\le\cdots\le\left(1+\frac1{n+k}\right)^{n+k}=\left(1+\frac1m\right)^m$이 참이고,$\displaystyle 1<1+\frac1m$이므로 $\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n\le\left(1+\frac1m\right)^m<\left(1+\frac1m\right)^{m+1}$이 성립한다.

$\displaystyle n>m$인 경우: $\displaystyle \left(1-\frac1n\right)^n$에 대하여 (2)의 풀이를 그대로 반복하면$\displaystyle \begin{aligned}\frac{\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1-\frac1n\right)^n}&=\frac{\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1-\frac1n\right)^{n+1}}\cdot\left(1-\frac1n\right)=\left(\frac{\frac n{n+1}}{\frac{n-1}n}\right)^{n+1}\cdot\left(1-\frac1n\right)\\&=\left(\frac{n^2-1+1}{n^2-1}\right)^{n+1}\cdot\left(1-\frac1n\right)\\&=\left(1+\frac1{n^2-1}\right)^{n+1}\cdot\left(1-\frac1n\right)\end{aligned}$이고,$\displaystyle x=\frac1{n^2-1}>-1$에 대하여 (1)의 부등식에 의하여$\displaystyle \left(1+\frac1{n^2-1}\right)^{n+1}\ge1+(n+1)\cdot\frac1{n^2-1}=1+\frac1{n-1}=\frac n{n-1}$이 성립하고$\displaystyle \left(1+\frac1{n^2-1}\right)^{n+1}\cdot\left(1-\frac1n\right)\ge\frac n{n-1}\cdot\left(1-\frac1n\right)=1$이다.그러므로 $\displaystyle \left(1-\frac1n\right)^n\le\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}$이 성립함을 알 수 있다.한편 $\displaystyle \left(1+\frac1m\right)^{m+1}=\left(\frac{m+1}m\right)^{m+1}=\frac1{\left(\frac m{m+1}\right)^{m+1}}=\frac1{\left(1-\frac1{m+1}\right)^{m+1}}$이므로 위의 부등식에 의하여$\displaystyle \left(1+\frac1m\right)^{m+1}=\frac1{\left(1-\frac1{m+1}\right)^{m+1}}\le\frac1{\left(1-\frac1m\right)^m}=\left(1+\frac1{m-1}\right)^m$이 참이다.그러므로 $\displaystyle n>m$이어서 $\displaystyle n=m+k$로 주어진다면,$\displaystyle \begin{aligned}\left(1+\frac1n\right)^n<\left(1+\frac1n\right)^{n+1}&=\left(1+\frac1{m+k}\right)^{m+k+1}\\&\le\left(1+\frac1{m+k-1}\right)^{m+k}\le\left(1+\frac1{m+k-2}\right)^{m+k-1}\\&\le\cdots\le\left(1+\frac1m\right)^{m+1}\end{aligned}$이 성립한다.

(4) $\displaystyle n$이 임의의 자연수일 때, 다음이 성립함을 보여라.$\displaystyle 2\le\left(1+\frac1n\right)^n<3$

(2)에 의하여 $\displaystyle x_n=\left(1+\frac1n\right)^n$은 증가하는 수열이고 $\displaystyle x_n$의 극한이 자연상수 $\displaystyle e$이다.그러므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 2=x_1\le x_n=\left(1+\frac1n\right)^n\le e<3$이 성립한다.