자연계열 I 2번

2-(1) 함수 $\displaystyle f(x)$의 극댓값 $\displaystyle M$과 극솟값 $\displaystyle m$을 구하시오.[풀이]$\displaystyle f^{\prime}(x)=2xe^{x}+x^{2}e^{x}$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이 $\displaystyle x=-2$, $\displaystyle x=0$을 근으로 갖는다. 구간 $\displaystyle (-\infty,-2)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이고 $\displaystyle f(x)$가 증가하며 구간 $\displaystyle (-2,0)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle f(x)$가 감소한다. 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)$가 증가한다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-2$에서 극댓값 $\displaystyle M=f(-2)=4e^{-2}$과 $\displaystyle x=0$에서 극솟값 $\displaystyle m=f(0)=0$을 갖는다.

2-(2) $\displaystyle -3\le a\le2$인 정수 $\displaystyle a$에 대하여 함숫값 $\displaystyle f(a)$를 크기순으로 나열하시오. (단, $\displaystyle 2.7<e$)[풀이]$\displaystyle -3\le a\le2$인 정수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle -3,-2,-1,0,1,2$이고 함숫값은 $\displaystyle f(-3)=9e^{-3}$, $\displaystyle f(-2)=4e^{-2}$, $\displaystyle f(-1)=e^{-1}$, $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(1)=e$, $\displaystyle f(2)=4e^{2}$이다.무리수 $\displaystyle e$가 $\displaystyle 2<e<3$이므로 $\displaystyle 0<e<4e^{2}$이고 $\displaystyle 0<e^{-1}<4e^{-2}<e$이며, $\displaystyle \frac{9}{4}<2.7<e$이므로 $\displaystyle e^{-1}<9e^{-3}<4e^{-2}$이다. 따라서 $\displaystyle 0<e^{-1}<9e^{-3}<4e^{-2}<e<4e^{2}$이다.

2-(3) 부등식 $\displaystyle m\le f(b)\le M$을 만족시키는 정수 $\displaystyle b$를 모두 구하시오.[풀이]$\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle f(x)$는 증가이고 문항 (2)에 따라 $\displaystyle f(1)=e>4e^{-2}=M$이므로 부등식 $\displaystyle 0\le f(b)\le4e^{-2}$을 만족하는 양의 정수 $\displaystyle b$는 존재하지 않는다. $\displaystyle x\le0$일 때 $\displaystyle f(x)\ge0$이고 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle (-\infty,-2)$에서 증가이고 구간 $\displaystyle (-2,0)$에서 감소이다. 따라서 $\displaystyle x\le0$일 때 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=-2$에서 극대이면서 최대이고 $\displaystyle x=0$에서 최소이다. 그러므로 $\displaystyle b\le0$인 모든 정수는 부등식 $\displaystyle 0\le f(b)\le4e^{-2}$을 만족한다. 따라서 구하는 정수 $\displaystyle b$는 $\displaystyle b\le0$인 모든 정수이다.

2-(4) 방정식 $\displaystyle f(x)=k$의 실근이 모두 정수인 양의 실수 $\displaystyle k$의 최솟값을 구하시오.[풀이]$\displaystyle k>0$에 대하여 방정식 $\displaystyle f(x)=k$는 $\displaystyle 0<k<M=4e^{-2}$일 때 서로 다른 세 실근을 갖고 $\displaystyle k=4e^{-2}$일 때 서로 다른 두 실근을 가지며 $\displaystyle k>M=4e^{-2}$일 때 한 개의 실근을 갖는다.(ㄱ) $\displaystyle 0<k<4e^{-2}$일 때 방정식 $\displaystyle f(x)=k$가 서로 다른 세 정수근을 가지려면 $\displaystyle f(x)$가 감소하는 구간 $\displaystyle -2<x<0$에서 $\displaystyle x=-1$이 항상 방정식의 근이 된다. 이때 $\displaystyle f(x)=e^{-1}=f(-1)$의 다른 두 근 중의 하나인 $\displaystyle \alpha$는 양의 정수이어야 한다. 그런데 문항 (2)에 따라서 $\displaystyle f(0)=0<e^{-1}(=f(\alpha))<e=f(1)$이므로 $\displaystyle \alpha$는 정수가 아니다. 그러므로 $\displaystyle 0<k<4e^{-2}$에서 주어진 조건을 만족하는 $\displaystyle k$는 없다.(ㄴ) $\displaystyle k=4e^{-2}$일 때 방정식 $\displaystyle f(x)=4e^{-2}$가 $\displaystyle x=-2$와 양의 실수 $\displaystyle \beta$를 근으로 갖는다. 문항 (2)에 따라서 $\displaystyle f(0)=0<4e^{-2}(=f(\beta))<e=f(1)$이므로 $\displaystyle \beta$는 정수가 아니다. 그러므로 $\displaystyle k=4e^{-2}$는 주어진 조건을 만족하지 않는다.(ㄷ) $\displaystyle k>4e^{-2}$일 때 방정식 $\displaystyle f(x)=k$는 한 개의 양의 실근을 갖는다. $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle f(1)=e>4e^{-2}$이고 $\displaystyle f(x)$가 증가하므로 조건을 만족하는 최솟값 $\displaystyle k$는 $\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle f(1)=e$이다.