자연계열 II 3번

3-(1) 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$를 지나는 직선의 방정식을 구하시오.[풀이]두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$를 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$이므로 구하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-2\sqrt{2})+2\sqrt{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{2\sqrt{6}+6\sqrt{2}}{3}$,즉 $\displaystyle x+\sqrt{3}y-(2\sqrt{2}+2\sqrt{6})=0$이다.

3-(2) 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 길이를 구하시오. (단, 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$는 제1사분면에 있다.)[풀이]두 선분 $\displaystyle \mathrm{OA},\mathrm{OB}$가 $\displaystyle x$축과 이루는 각을 각각 $\displaystyle \alpha,\beta$라고 하면 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1$이고 $\displaystyle \tan\beta=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=2+\sqrt{3}$이다. 탄젠트함수의 덧셈정리에 의해$\displaystyle \tan(\beta-\alpha)=\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\cdot\tan\alpha}=\frac{(2+\sqrt{3})-1}{1+(2+\sqrt{3})\cdot1}=\frac{1}{\sqrt{3}}$이므로 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$에 대하여 두 선분 $\displaystyle \mathrm{OA},\mathrm{OB}$가 이루는 각이 $\displaystyle \beta-\alpha=\frac{\pi}{6}$이다. 원의 반지름이 $\displaystyle 4$이므로 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 길이는 $\displaystyle 4\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$이다.

3-(3) 좌표평면의 집합 $\displaystyle C=\{(\cos\theta-1,\sin\theta)\mid0\le\theta<2\pi\}$에 속하는 점 $\displaystyle \mathrm{P}(\cos\theta-1,\sin\theta)$에 대하여 문항 (2)의 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 두 선분 $\displaystyle \mathrm{AP},\mathrm{BP}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S(\theta)$라 하자. $\displaystyle S(\theta)$의 최댓값을 $\displaystyle M$, 최솟값을 $\displaystyle m$이라 할 때 $\displaystyle (M-m)^{2}$의 값을 구하시오.[풀이]호 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 두 선분 $\displaystyle \mathrm{AP},\mathrm{BP}$로 둘러싸인 도형의 넓이는 모두 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$로 둘러싸인 도형의 넓이와 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 밑변으로 하고 집합 $\displaystyle C$의 한 점 $\displaystyle \mathrm{P}(\cos\theta-1,\sin\theta)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이의 합과 같다. 따라서 이 삼각형의 넓이가 최대일 때 구하는 넓이 $\displaystyle S(\theta)$가 최대이고 삼각형의 넓이가 최소일 때 구하는 넓이도 최소이다.집합 $\displaystyle C$의 점은 $\displaystyle (x+1)^{2}+y^{2}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$으로 나타나는 원의 점이다. 집합 $\displaystyle C$가 나타내는 원의 한 점과 문항 (1)에서 구한 직선과의 거리가 최대인 $\displaystyle h_{1}$일 때 넓이 $\displaystyle S(\theta)$가 최대가 되고 거리가 최소인 $\displaystyle h_{2}$일 때 넓이 $\displaystyle S(\theta)$가 최소가 된다. 따라서 $\displaystyle S(\theta)$의 최댓값 $\displaystyle M$과 최솟값 $\displaystyle m$의 차 $\displaystyle M-m$은 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 공통인 밑변으로 하고 높이가 $\displaystyle h_{1}$인 삼각형의 넓이와 높이가 $\displaystyle h_{2}$인 삼각형의 넓이의 차이므로$\displaystyle M-m=\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot h_{1}-\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot h_{2}=\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot(h_{1}-h_{2})$이다. 직선 $\displaystyle x+\sqrt{3}y-(2\sqrt{2}+2\sqrt{6})=0$에서 원 $\displaystyle (x+1)^{2}+y^{2}=1$와의 거리가 최대 또는 최소가 되는 원 $\displaystyle (x+1)^{2}+y^{2}=1$ 위의 점은 이 원과 기울기가 $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}$인 접선이 만나는 두 점이다. 이 두 접선이 직선 $\displaystyle x+\sqrt{3}y-(2\sqrt{2}+2\sqrt{6})=0$에 평행하고 원 $\displaystyle (x+1)^{2}+y^{2}=1$의 반지름이 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle h_{1}=h_{2}+2\cdot1=h_{2}+2$이다. 따라서 $\displaystyle h_{1}-h_{2}=2$이다. 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 길이의 제곱이$\displaystyle \{2\sqrt{2}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})\}^{2}+\{2\sqrt{2}-(\sqrt{6}+\sqrt{2})\}^{2}=32-16\sqrt{3}$이므로 구하는 값은$\displaystyle (M-m)^{2}=\left\{\frac{1}{2}\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot(h_{1}-h_{2})\right\}^{2}=\left\{\frac{1}{2}\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot2\right\}^{2}=\overline{\mathrm{AB}}^{2}=32-16\sqrt{3}$이다.