자연계열 II 2번

2-(1) 함수 $\displaystyle f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하시오.[풀이]$\displaystyle f^{\prime}(x)=2xe^{x}+x^{2}e^{x}$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이 $\displaystyle x=-2$, $\displaystyle x=0$을 근으로 갖는다. 구간 $\displaystyle (-\infty,-2)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이고 $\displaystyle f(x)$가 증가하며, 구간 $\displaystyle (-2,0)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle f(x)$가 감소한다. 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)$가 증가한다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-2$에서 극댓값 $\displaystyle f(-2)=4e^{-2}$과 $\displaystyle x=0$에서 극솟값 $\displaystyle f(0)=0$을 갖는다.

2-(2) 부등식 $\displaystyle a^{2}e^{a}<4e^{-2}<(a+1)^{2}e^{a+1}$과 $\displaystyle b^{2}e^{b}<e^{-1}<(b+1)^{2}e^{b+1}$을 만족시키는 정수 $\displaystyle a,b$를 모두 구하시오. (단, $\displaystyle 2.7<e$)[풀이]모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)\ge0$이고 구간 $\displaystyle (-\infty,-2)$와 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle x<-2$ 또는 $\displaystyle x>0$에서 증가하고, 구간 $\displaystyle (-2,0)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle (-2,0)$에서 감소한다. $\displaystyle f(x)$의 그래프의 개형을 통해 $\displaystyle y=f(x)$는 직선 $\displaystyle y=4e^{-2}$과 서로 다른 두 점에서 만나고, 직선 $\displaystyle y=e^{-1}$과는 서로 다른 세 점과 만난다.(ㄱ) 주어진 부등식 $\displaystyle f(a)=a^{2}e^{a}<4e^{-2}<(a+1)^{2}e^{a+1}=f(a+1)$을 만족하는 정수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle a\ge0$이고 이 구간에서 한 개가 존재한다. 이때 무리수 $\displaystyle e$는 부등식 $\displaystyle 2<e$을 만족하므로 $\displaystyle f(0)=0<4e^{-2}<e=f(1)$이다. 이로부터 구하는 정수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 0$이다.(ㄴ) 부등식 $\displaystyle f(b)<e^{-1}<f(b+1)$을 만족하는 정수 $\displaystyle b$는 구간 $\displaystyle (-\infty,2)$와 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에 구간 별로 한 개씩 존재할 수 있다. 이때 무리수 $\displaystyle e$는 부등식 $\displaystyle 2.7<e<3$을 만족하므로 $\displaystyle 16<2.7^{3}<e^{3}$이 성립한다. 따라서, $\displaystyle f(-4)=16e^{-4}<e^{-1}<9e^{-3}=f(-3)$와 $\displaystyle f(0)=0<e^{-1}<e=f(1)$가 성립한다. 이로부터 구하는 정수 $\displaystyle b$는 $\displaystyle -4$와 $\displaystyle 0$이다.Correction. 정수 $\displaystyle b$의 범위를 설명한 구간은 $\displaystyle (-\infty,-2)$와 $\displaystyle [0,\infty)$로 써야 한다. 최종 답 $\displaystyle b=-4,0$은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

2-(3) 방정식 $\displaystyle f(x)=k$의 실근이 모두 정수인 양의 실수 $\displaystyle k$의 최솟값을 구하시오.[풀이]$\displaystyle k>0$에 대하여 방정식 $\displaystyle f(x)=k$는 $\displaystyle 0<k<4e^{-2}$일 때 서로 다른 세 실근을 갖고 $\displaystyle k=4e^{-2}$일 때 서로 다른 두 실근을 가지며 $\displaystyle k>4e^{-2}$일 때 한 개의 실근을 갖는다.(ㄱ) $\displaystyle 0<k<4e^{-2}$일 때 방정식 $\displaystyle f(x)=k$가 서로 다른 세 정수근을 가지려면 $\displaystyle f(x)$가 감소하는 구간 $\displaystyle -2<x<0$에서 $\displaystyle x=-1$이 항상 방정식의 근이 된다. 이때 $\displaystyle f(x)=e^{-1}=f(-1)$의 다른 두 근 중의 하나인 $\displaystyle \alpha$는 양의 정수이어야 한다. 그런데 문항 (2)에 따라서 $\displaystyle f(0)=0<e^{-1}(=f(\alpha))<e=f(1)$이므로 $\displaystyle \alpha$는 정수가 아니다. 그러므로 $\displaystyle 0<k<4e^{-2}$에서 주어진 조건을 만족하는 $\displaystyle k$는 없다.(ㄴ) $\displaystyle k=4e^{-2}$일 때 방정식 $\displaystyle f(x)=4e^{-2}$가 $\displaystyle x=-2$와 양의 실수 $\displaystyle \beta$를 근으로 갖는다. 문항 (2)에 따라서 $\displaystyle f(0)=0<4e^{-2}(=f(\beta))<e=f(1)$이므로 $\displaystyle \beta$는 정수가 아니다. 그러므로 $\displaystyle k=4e^{-2}$는 주어진 조건을 만족하지 않는다.(ㄷ) $\displaystyle k>4e^{-2}$일 때 방정식 $\displaystyle f(x)=k$는 한 개의 양의 실근을 갖는다. $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle f(1)=e>4e^{-2}$이고 $\displaystyle f(x)$가 증가하므로 조건을 만족하는 최솟값 $\displaystyle k$는 $\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle f(1)=e$이다.