자연계열 I 3번

3-(1) 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$를 지나는 직선의 방정식을 구하시오.[풀이]두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$를 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})-(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}=-1$이므로 구하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-1\cdot(x-\sqrt{6}-\sqrt{2})+\sqrt{6}-\sqrt{2}=-x+2\sqrt{6}$이다.

3-(2) 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 길이를 구하시오. (단, 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$는 제1사분면에 있다.)[풀이]두 선분 $\displaystyle \mathrm{OA},\mathrm{OB}$가 $\displaystyle x$축과 이루는 각을 각각 $\displaystyle \alpha,\beta$라고 하면 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}$이고 $\displaystyle \tan\beta=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=2+\sqrt{3}$이다. 탄젠트함수의 덧셈정리에 따라$\displaystyle \tan(\beta-\alpha)=\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\cdot\tan\alpha}=\frac{2+\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})}{1+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\sqrt{3}$이므로 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$에 대하여 두 선분 $\displaystyle \mathrm{OA},\mathrm{OB}$가 이루는 각은 $\displaystyle \beta-\alpha=\frac{\pi}{3}$이다. 원의 반지름이 $\displaystyle 4$이므로 구하는 호의 길이는 $\displaystyle 4\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$이다.

3-(3) 문항 (2)의 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.[풀이]호 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$로 둘러싸인 도형의 넓이는 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{AOB}$의 넓이에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOB}$의 넓이를 뺀 것이다. 문항 (2)에서 구한 중심각이 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$이므로 부채꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot4^{2}\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}$이고 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot4^{2}\cdot\sin\frac{\pi}{3}=4\sqrt{3}$이므로 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{8\pi}{3}-4\sqrt{3}$이다.

3-(4) 좌표평면의 집합 $\displaystyle C=\{(\cos\theta-1,\sin\theta)\mid0\le\theta<2\pi\}$에 속하는 점 $\displaystyle \mathrm{P}(\cos\theta-1,\sin\theta)$에 대하여 문항 (2)의 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 두 선분 $\displaystyle \mathrm{AP},\mathrm{BP}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S(\theta)$라 할 때, $\displaystyle S(\theta)$의 최댓값을 구하시오.[풀이]집합 $\displaystyle C$의 점은 $\displaystyle (x+1)^{2}+y^{2}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$으로 나타나는 원의 점이다. 이 원의 한 점과 문항 (1)에서 구한 직선 사이의 거리가 최대일 때 구하는 도형의 넓이가 최대가 된다. 원 $\displaystyle (x+1)^{2}+y^{2}=1$의 중심 $\displaystyle (-1,0)$과 문항 (1)에서 구한 직선 $\displaystyle x+y-2\sqrt{6}=0$과의 거리가$\displaystyle \frac{|(-1)+0-2\sqrt{6}|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{3}$이므로 이 값에 반지름 $\displaystyle 1$을 더하면 최대 거리가 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{3}+1$이다. 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 길이가$\displaystyle \sqrt{\{(\sqrt{6}-\sqrt{2})-(\sqrt{6}+\sqrt{2})\}^{2}+\{(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(\sqrt{6}-\sqrt{2})\}^{2}}=4$이므로 도형의 넓이 $\displaystyle S(\theta)$가 최댓값일 때의 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PAB}$의 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot4\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{3}+1\right)=\sqrt{2}+4\sqrt{3}+2$이다.문항 (3)에서 구한 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle \frac{8\pi}{3}-4\sqrt{3}$를 더하면 구하는 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \left(\frac{8\pi}{3}-4\sqrt{3}\right)+(\sqrt{2}+4\sqrt{3}+2)=\frac{8\pi}{3}+\sqrt{2}+2$이다.