자연계열 II 1번

1-(1) 다음 등식이 성립함을 보이시오.$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1-2a\sin \theta)d\theta=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin \theta)d\theta$[풀이]$\displaystyle \theta=-t$로 치환하면 $\displaystyle dt=-d\theta$, $\displaystyle t\in\left[\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right]$, $\displaystyle \sin\theta=\sin(-t)=-\sin t$가 성립하므로$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1-2a\sin \theta)d\theta=\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin t)(-1)dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin t)dt$

1-(2) 문항 (1)로부터 다음 등식이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립함을 보이시오.$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin \theta)d\theta=\frac{1}{2^{n}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2^{n+1}}+1+2a^{2^{n}}\sin\theta)d\theta$[풀이]수학적 귀납법을 사용하여 증명한다. 먼저 $\displaystyle n=1$일 때 주어진 등식이 성립하는지 확인한다. 문항 (1)에 의하여$\displaystyle 2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin \theta)d\theta=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin \theta)d\theta+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1-2a\sin \theta)d\theta$가 성립한다. 위 등식의 우변을 정리하면 아래의 식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin \theta)d\theta+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1-2a\sin \theta)d\theta\\&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\{\ln(a^{2}+1+2a\sin\theta)+\ln(a^{2}+1-2a\sin\theta)\}d\theta\\&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{4}+1+2a^{2}-4a^{2}\sin^{2}\theta)d\theta\\&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{4}+1+2a^{2}(1-2\sin^{2}\theta))d\theta\quad(1-2\sin^{2}\theta=\cos2\theta)\\&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\cos2\theta)d\theta\quad\left(t=2\theta\Rightarrow d\theta=\frac{1}{2}dt,\ t\in[-\pi,\pi]\right)\\&=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\cos t)dt\end{aligned}$여기에서 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\cos t)dt$를 아래와 같이 표현할 수 있다.우선 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\cos t)dt=\int_{-\pi}^{0}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\cos t)dt+\int_{0}^{\pi}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\cos t)dt$로 분리하여, 우변의 첫 번째 적분에는 $\displaystyle t=x-\frac{\pi}{2}$로 치환하여 $\displaystyle dt=dx$, $\displaystyle x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, $\displaystyle \cos t=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin x$를 활용하고, 두 번째 적분에는 $\displaystyle t=y+\frac{\pi}{2}$로 치환하여 $\displaystyle dt=dy$, $\displaystyle y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, $\displaystyle \cos t=\cos\left(y+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin y$를 활용한다. 이 치환적분의 결과와 문항 (1)에 의하여 아래의 등식이 성립한다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\cos t)dt&=\int_{-\pi}^{0}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\cos t)dt+\int_{0}^{\pi}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\cos t)dt\\&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\sin x)dx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{4}+1-2a^{2}\sin y)dy\\&=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\sin\theta)d\theta\end{aligned}$위의 두 등식을 정리하면 아래가 성립한다.$\displaystyle 2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin \theta)d\theta=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\cos t)dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{4}+1+2a^{2}\sin\theta)d\theta$따라서 $\displaystyle n=1$일 때 주어진 등식이 성립한다.$\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin \theta)d\theta=\frac{1}{2^{k}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2^{k+1}}+1+2a^{2^{k}}\sin\theta)d\theta$이 성립한다고 가정하자.위의 식에서 $\displaystyle a^{2^{k}}=\beta$라고 하면 $\displaystyle a^{2^{k+1}}=a^{2^{k}\cdot2}=\left(a^{2^{k}}\right)^{2}=\beta^{2}$이고 $\displaystyle \beta^{4}=\left(\beta^{2}\right)^{2}=a^{2^{k+2}}$이 성립한다. 이 때 $\displaystyle -1<a<1$이므로 $\displaystyle 0\le a^{2^{k}}=\beta<1$이고, $\displaystyle 0\le a^{2^{k+1}}=\beta^{2}<1$이다. 그러므로 $\displaystyle n=1$일 때의 식에서 $\displaystyle a$에 $\displaystyle \beta$를 대입하면,$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\beta^{2}+1+2\beta\sin\theta)d\theta=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\beta^{4}+1+2\beta^{2}\sin\theta)d\theta$이 성립하고,$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin \theta)d\theta&=\frac{1}{2^{k}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2^{k+1}}+1+2a^{2^{k}}\sin\theta)d\theta\\&=\frac{1}{2^{k}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\beta^{2}+1+2\beta\sin\theta)d\theta\\&=\frac{1}{2^{k}}\cdot\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\beta^{4}+1+2\beta^{2}\sin\theta)d\theta\\&=\frac{1}{2^{k+1}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2^{k+2}}+1+2a^{2^{k+1}}\sin\theta)d\theta\end{aligned}$이 성립하여 $\displaystyle n=k+1$일 때 주어진 등식이 성립한다.따라서 수학적 귀납법에 의하여 주어진 등식은 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립한다.

1-(3) 다음 부등식이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립함을 보이시오.$\displaystyle 2\pi\ln(1-a^{2^{n}})\le\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2^{n+1}}+1+2a^{2^{n}}\sin\theta)d\theta\le2\pi\ln(1+a^{2^{n}})$[풀이]$\displaystyle -1<a<1$이므로 $\displaystyle 0\le a^{2^{n}}<1$이고 $\displaystyle \theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$에 대하여 $\displaystyle -1\le\sin\theta\le1$이므로 아래의 부등식이 성립한다.$\displaystyle (1-a^{2^{n}})^{2}=a^{2^{n+1}}+1+2a^{2^{n}}(-1)\le a^{2^{n+1}}+1+2a^{2^{n}}\sin\theta\le a^{2^{n+1}}+1+2a^{2^{n}}\cdot1=(1+a^{2^{n}})^{2}$위 부등식에 밑이 1보다 큰 로그함수가 증가함수인 것을 적용하면 아래의 부등식이 성립한다.$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(1-a^{2^{n}})^{2}d\theta\le\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2^{n+1}}+1+2a^{2^{n}}\sin\theta)d\theta\le\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(1+a^{2^{n}})^{2}d\theta$위 부등식의 왼쪽과 오른쪽 적분에서 $\displaystyle \ln(1\pm a^{2^{n}})^{2}=2\ln(1\pm a^{2^{n}})$는 변수 $\displaystyle \theta$에 대하여 상수이므로$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(1\pm a^{2^{n}})^{2}d\theta=2\ln(1\pm a^{2^{n}})\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1d\theta=2\pi\ln(1\pm a^{2^{n}})$가 되어 아래의 부등식이 성립한다.$\displaystyle 2\pi\ln(1-a^{2^{n}})\le\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2^{n+1}}+1+2a^{2^{n}}\sin\theta)d\theta\le2\pi\ln(1+a^{2^{n}})$

1-(4) 다음 정적분을 수열의 극한의 대소관계를 이용하여 계산하시오.$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin \theta)d\theta$[풀이]문항 (2)과 문항 (3)에 의하여 아래의 부등식이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립한다.$\displaystyle \frac{2\pi\ln(1-a^{2^{n}})}{2^{n}}\le\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin \theta)d\theta\le\frac{2\pi\ln(1+a^{2^{n}})}{2^{n}}$위 부등식에서 $\displaystyle -1<a<1$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^{2^{n}}=0$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}}=0$이며 로그함수의 연속성에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln(1+a^{2^{n}})=\ln1=0,\ \lim_{n\to\infty}\ln(1-a^{2^{n}})=\ln1=0$이 성립한다.그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2\pi\ln(1+a^{2^{n}})}{2^{n}}=0,\ \lim_{n\to\infty}\frac{2\pi\ln(1-a^{2^{n}})}{2^{n}}=0$이 성립하여 사잇값 정리에 의하여Correction. 여기서 사용한 것은 사잇값 정리가 아니라 샌드위치 정리다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^{2}+1+2a\sin \theta)d\theta=0$이다.