자연계열 I 1번

(1) 도형 $\displaystyle S$의 넓이를 구하시오.풀이: 두 곡선의 교점은 $\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}=-x^{2}+\frac{9}{2}x$를 만족하는 경우이므로$\displaystyle 0=\frac{1}{2}x^{2}-\left(-x^{2}+\frac{9}{2}x\right)=\frac{1}{2}(3x^{2}-9x)=\frac{3}{2}x(x-3)$을 만족하는 점이다. 즉 $\displaystyle x=0,3$이다.구간 $\displaystyle 0\le x\le3$에서 $\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}\le-x^{2}+\frac{9}{2}x$이므로 $\displaystyle S$의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}A&=\int_{0}^{3}\left(\left(-x^{2}+\frac{9}{2}x\right)-\frac{1}{2}x^{2}\right)dx\\&=\int_{0}^{3}\left(-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x\right)dx\\&=\Biggl[-\frac{1}{2}x^{3}+\frac{9}{4}x^{2}\Biggr]_{0}^{3}\\&=\frac{27}{4}\end{aligned}$

(2) 실수 $\displaystyle t$에 대하여 직선 $\displaystyle y=t$와 도형 $\displaystyle S$가 만나는 부분의 선분의 길이의 최댓값 $\displaystyle l$이 있다. 함숫값 $\displaystyle f(t)$를 $\displaystyle l$이라 할 때, $\displaystyle f(t)$의 최댓값을 구하시오.풀이: 구간 $\displaystyle 0\le x\le3$에서 $\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}\le-x^{2}+\frac{9}{2}x$이고, 같은 구간에서 이차함수 $\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}$의 최솟값은 $\displaystyle 0$, 이차함수 $\displaystyle -x^{2}+\frac{9}{2}x$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{81}{16}$이다. 따라서 직선 $\displaystyle y=t$가 도형 $\displaystyle S$와 만나는 범위는 $\displaystyle 0\le t\le\frac{81}{16}$이다.직선 $\displaystyle y=t$가 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}$과 만날 때, $\displaystyle x^{2}=2t$이고 $\displaystyle x=\pm\sqrt{2t}$이다. 구간 $\displaystyle 0\le x\le3$에서 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}$의 $\displaystyle y$값의 범위는 $\displaystyle 0\le y\le\frac{9}{2}$이므로, 구간 $\displaystyle 0\le t\le\frac{9}{2}$에서만 직선 $\displaystyle y=t$가 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}$과 만나고 이때 $\displaystyle x=\sqrt{2t}$이다.직선 $\displaystyle y=t$가 곡선 $\displaystyle y=-x^{2}+\frac{9}{2}x$와 만날 때, $\displaystyle -x^{2}+\frac{9}{2}x=t$이고 $\displaystyle x=\frac{9\pm\sqrt{81-16t}}{4}$이다. 구간 $\displaystyle 0\le t\le\frac{9}{2}$에서는 직선 $\displaystyle y=t$와 곡선 $\displaystyle y=-x^{2}+\frac{9}{2}x$가 $\displaystyle x=\frac{9-\sqrt{81-16t}}{4}$에서 만나고, 구간 $\displaystyle \frac{9}{2}\le t\le\frac{81}{16}$에서는 직선 $\displaystyle y=t$와 곡선 $\displaystyle y=-x^{2}+\frac{9}{2}x$가 $\displaystyle x=\frac{9\pm\sqrt{81-16t}}{4}$에서 각각 만난다. 따라서 직선 $\displaystyle y=t$가 도형 $\displaystyle S$와 만나는 선분의 길이는$\displaystyle f(t)=\begin{cases}\sqrt{2t}-\frac{9-\sqrt{81-16t}}{4}=\frac{4\sqrt{2t}-9+\sqrt{81-16t}}{4},&0\le t\le\frac{9}{2}\\\frac{9+\sqrt{81-16t}}{4}-\frac{9-\sqrt{81-16t}}{4}=\frac{\sqrt{81-16t}}{2},&\frac{9}{2}<t\le\frac{81}{16}\end{cases}$이다.(i) 구간 $\displaystyle 0\le t\le\frac{9}{2}$에서$\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{t}}-\frac{8}{4\sqrt{81-16t}}=\frac{2(\sqrt{2}\sqrt{81-16t}-4\sqrt{t})}{4\sqrt{t}\sqrt{81-16t}}=0$인 경우는 $\displaystyle t=\frac{27}{8}$이다. $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f\left(\frac{27}{8}\right)=\frac{9\sqrt{3}-9}{4}$, $\displaystyle f\left(\frac{9}{2}\right)=\frac32$이므로 구간 $\displaystyle 0\le t\le\frac{9}{2}$에서 $\displaystyle f(t)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{9\sqrt{3}-9}{4}$이다.(ii) 구간 $\displaystyle \frac{9}{2}\le t\le\frac{81}{16}$에서 $\displaystyle f(t)=\frac{\sqrt{81-16t}}{2}$는 $\displaystyle t$에 대하여 감소함수이므로 $\displaystyle t=\frac{9}{2}$일 때, $\displaystyle f(t)$가 최대이다. 따라서 최댓값은 $\displaystyle \frac{3}{2}$이다.(i), (ii)의 결과로부터 $\displaystyle f(t)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{9\sqrt{3}-9}{4}$이다.

(3) 실수 $\displaystyle m$에 대하여 직선 $\displaystyle y=mx$와 도형 $\displaystyle S$가 만나는 부분의 선분의 길이의 최댓값 $\displaystyle r$이 있다. 함숫값 $\displaystyle g(m)$을 $\displaystyle r$이라 할 때, $\displaystyle g(m)$의 최댓값을 구하시오.풀이: 직선 $\displaystyle y=mx$가 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}$과 $\displaystyle y=-x^{2}+\frac{9}{2}x$에 원점에서 접할 때의 기울기는 각각 $\displaystyle m=0$, $\displaystyle m=\frac{9}{2}$이다. 따라서 직선 $\displaystyle y=mx$가 도형 $\displaystyle S$와 두 점 이상에서 만나는 $\displaystyle m$의 범위는 $\displaystyle 0<m<\frac{9}{2}$이다.직선 $\displaystyle y=mx$가 두 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}$과 $\displaystyle y=-x^{2}+\frac{9}{2}x$의 교점 $\displaystyle \left(3,\frac{9}{2}\right)$를 지날 때, 기울기는 $\displaystyle m=\frac{3}{2}$이다. 구간 $\displaystyle 0<m\le\frac{3}{2}$에서 직선 $\displaystyle y=mx$는 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}$과 두 점에서 만나고 구간 $\displaystyle \frac{3}{2}\le m<\frac{9}{2}$에서 직선 $\displaystyle y=mx$는 곡선 $\displaystyle y=-x^{2}+\frac{9}{2}x$와 두 점에서 만난다.(i) 구간 $\displaystyle 0<m\le\frac{3}{2}$에서 직선 $\displaystyle y=mx$와 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}$의 교점은 각각 $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle (2m,2m^{2})$이므로$\displaystyle g(m)=\sqrt{(2m)^{2}+(2m^{2})^{2}}=2m\sqrt{1+m^{2}}$이고 $\displaystyle m$에 대하여 증가함수이다. 따라서 구간 $\displaystyle 0<m\le\frac{3}{2}$에서 $\displaystyle g(m)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{3\sqrt{13}}{2}$이다.(ii) 구간 $\displaystyle \frac{3}{2}\le m<\frac{9}{2}$에서 직선 $\displaystyle y=mx$와 곡선 $\displaystyle y=-x^{2}+\frac{9}{2}x$의 교점은 각각 $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle \left(\frac{9}{2}-m,\frac{9}{2}m-m^{2}\right)$이므로$\displaystyle g(m)=\sqrt{\left(\frac{9}{2}-m\right)^{2}+\left(\frac{9}{2}m-m^{2}\right)^{2}}=\left(\frac{9}{2}-m\right)\sqrt{1+m^{2}}$이다. 구간 $\displaystyle \frac{3}{2}\le m<\frac{9}{2}$에서 $\displaystyle h(m)=\{g(m)\}^{2}=\left(\frac{9}{2}-m\right)^{2}(1+m^{2})$이 최대가 될 때, $\displaystyle g(m)$이 최대가 된다. 구간 $\displaystyle \frac{3}{2}\le m<\frac{9}{2}$에서$\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(m)&=-2\left(\frac{9}{2}-m\right)(1+m^{2})+2m\left(\frac{9}{2}-m\right)^{2}\\&=-\frac{1}{2}(9-2m)(4m^{2}-9m+2)\\&=\frac{1}{2}(2m-9)(4m-1)(m-2)=0\end{aligned}$을 만족하는 경우는 $\displaystyle m=2$이다. $\displaystyle h\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{117}{4}$, $\displaystyle h(2)=\frac{125}{4}$, $\displaystyle h\left(\frac{9}{2}\right)=0$이므로 구간 $\displaystyle 1\le m<3$에서 $\displaystyle g(m)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{2}$이다.Correction. 결론에 적힌 구간 $\displaystyle 1\le m<3$은 $\displaystyle \frac32\le m<\frac92$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(i), (ii)의 결과로부터 $\displaystyle g(m)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{2}$이다.