자연계열 II 3번

(1) $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=I_{4}-4I_{5}+6I_{6}-4I_{7}+I_{8}$이 성립함을 보이시오.풀이: $\displaystyle x=\tan\theta$이면, $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\sec^{2}\theta d\theta$이고 $\displaystyle 1+x^{2}=1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$이다. 따라서Correction. $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\sec^2\theta\,d\theta$는 $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\sec^2\theta$ 또는 $\displaystyle dx=\sec^2\theta\,d\theta$로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{0}^{1}f(x)dx&=\int_{0}^{\pi/4}\tan^{4}\theta(1-\tan\theta)^{4}d\theta\\&=\int_{0}^{\pi/4}\{\tan^{4}\theta-4\tan^{5}\theta+6\tan^{6}\theta-4\tan^{7}\theta+\tan^{8}\theta\}d\theta\\&=I_{4}-4I_{5}+6I_{6}-4I_{7}+I_{8}\end{aligned}$이다.

(2) $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx$의 값을 구하시오.풀이: $\displaystyle 1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$이므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해,$\displaystyle \begin{aligned}I_{n+2}&=\int_{0}^{\pi/4}\tan^{n+2}\theta d\theta=\int_{0}^{\pi/4}\tan^{n}\theta(\sec^{2}\theta-1)d\theta\\&=\int_{0}^{\pi/4}\tan^{n}\theta\sec^{2}\theta d\theta-\int_{0}^{\pi/4}\tan^{n}\theta d\theta=\Biggl[\frac{\tan^{n+1}\theta}{n+1}\Biggr]_{\theta=0}^{\theta=\pi/4}-I_{n}\\&=\frac{1}{n+1}-I_{n}\end{aligned}$이다. $\displaystyle I_{0}=\int_{0}^{\pi/4}1d\theta=\frac{\pi}{4}$이라 하면$\displaystyle I_{6}=\frac{1}{5}-I_{4}=\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+I_{2}=\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+1-I_{0}=\frac{13}{15}-\frac{\pi}{4}$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\int_{0}^{1}f(x)dx&=I_{4}-4I_{5}+6I_{6}-4I_{7}+I_{8}\\&=(I_{4}+I_{6})-4(I_{5}+I_{7})+(I_{6}+I_{8})+4I_{6}\\&=\frac{1}{5}-\frac{4}{6}+\frac{1}{7}+4\left(\frac{13}{15}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{22}{7}-\pi\end{aligned}$이다.

(3) $\displaystyle \int_{0}^{1}x^{4}(1-x)^{4}dx$의 값을 구하고, 이 값을 이용하여 $\displaystyle \frac{1979}{630}\le\pi\le\frac{3959}{1260}$이 성립함을 보이시오.풀이: 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle 1\le1+x^{2}\le2$이 성립하므로 이 구간에서$\displaystyle \frac{x^{4}(1-x)^{4}}{2}\le f(x)\le x^{4}(1-x)^{4}$가 성립한다. 따라서 적분값 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left\{f(x)-\frac{x^{4}(1-x)^{4}}{2}\right\}dx$은 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 함수 $\displaystyle f(x)-\frac{x^{4}(1-x)^{4}}{2}$와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이이고 적분값 $\displaystyle \int_{0}^{1}\{x^{4}(1-x)^{4}-f(x)\}dx$은 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 함수 $\displaystyle x^{4}(1-x)^{4}-f(x)$와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 되므로 각각의 적분값은 $\displaystyle 0$보다 크거나 같은 것을 알 수 있다.한편 각각의 적분값을 직접 구해보면$\displaystyle \int_{0}^{1}\left\{f(x)-\frac{x^{4}(1-x)^{4}}{2}\right\}dx=\frac{22}{7}-\pi-\frac{1}{1260}$이고$\displaystyle \int_{0}^{1}\{x^{4}(1-x)^{4}-f(x)\}dx=\frac{1}{630}-\frac{22}{7}+\pi$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{22}{7}-\pi-\frac{1}{1260}\ge0$이고 $\displaystyle \frac{1}{630}-\frac{22}{7}+\pi\ge0$이다. 이를 정리하면$\displaystyle \frac{1979}{630}\le\pi\le\frac{3959}{1260}$이다.