자연계열 I 3번

(1) 두 양의 실수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$에 대하여 $\displaystyle f\left(\frac{a}{b}\right)=f(a)-f(b)$이 성립함을 보이고, $\displaystyle f(1)$의 값을 구하시오.풀이: $\displaystyle f(1)=f(1\cdot1)=f(1)+f(1)$이므로 $\displaystyle f(1)=0$이다.$\displaystyle f(a)=f\left(b\cdot\frac{a}{b}\right)=f(b)+f\left(\frac{a}{b}\right)$이므로$\displaystyle f\left(\frac{a}{b}\right)=f(a)-f(b)$이 성립한다.

(2) 임의의 양의 실수 $\displaystyle x$와 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(x^{n})=nf(x)$와 $\displaystyle f\left(x^{\frac{1}{n}}\right)=\frac{1}{n}f(x)$이 성립함을 보이시오.풀이: 임의의 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x^{2})=f(x\cdot x)=f(x)+f(x)=2f(x)$이므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle f(x^{n})=nf(x)$이 성립한다.임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle x^{\frac{1}{n}}=t$라 하면 $\displaystyle t^{n}=x$이므로 $\displaystyle f(x)=f(t^{n})=nf(t)=nf\left(x^{\frac{1}{n}}\right)$이다. 따라서$\displaystyle f\left(x^{\frac{1}{n}}\right)=\frac{1}{n}f(x)$이 성립한다.

(3) 임의의 양의 실수 $\displaystyle x$와 임의의 유리수 $\displaystyle q$에 대하여 $\displaystyle f(x^{q})=qf(x)$이 성립함을 보이시오.풀이: $\displaystyle q=0$이면 $\displaystyle x$가 양수이므로 $\displaystyle x^{q}=1$이어서 $\displaystyle f(x^{0})=f(1)=0=0\cdot f(x)$이 성립한다.$\displaystyle q$가 양의 유리수이면, 적당한 자연수 $\displaystyle n,m$이 존재하여 $\displaystyle q=\frac{n}{m}$이고 $\displaystyle x^{q}=x^{\frac{n}{m}}=\left(x^{\frac{1}{m}}\right)^{n}$이다. 그러므로 위 (2)번 문항에 의하여$\displaystyle f(x^{q})=f\left(\left(x^{\frac{1}{m}}\right)^{n}\right)=nf\left(x^{\frac{1}{m}}\right)=\frac{n}{m}f(x)=q\cdot f(x)$이 성립한다.$\displaystyle q$가 음의 유리수이면, 적당한 자연수 $\displaystyle n,m$이 존재하여 $\displaystyle q=-\frac{n}{m}$이고 $\displaystyle x^{q}=x^{-\frac{n}{m}}=\frac{1}{x^{\frac{n}{m}}}$이다. 따라서 위 (1)번 문항과 양의 유리수의 경우에 의하여$\displaystyle f(x^{q})=f\left(\frac{1}{x^{\frac{n}{m}}}\right)=-f\left(x^{\frac{n}{m}}\right)=-\frac{n}{m}f(x)=qf(x)$이 성립한다.

(4) 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 연속이면 함수 $\displaystyle f(x)$가 양의 실수 집합에서 연속임을 보이시오.풀이: 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle x=1$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=f(1)$가 성립한다. 함수 $\displaystyle f$가 양의 실수 집합에서 연속임을 보이기 위하여 임의의 $\displaystyle 1$이 아닌 양의 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle \lim_{t\to a}f(t)=f(a)$ 또는 $\displaystyle \lim_{t\to a}f(t)-f(a)=0$이 성립함을 보여야 한다.$\displaystyle f(t)=f\left(\frac{t}{a}a\right)=f\left(\frac{t}{a}\right)+f(a)$이므로 $\displaystyle f(1)=0$에 의하여$\displaystyle f(t)-f(a)=f\left(\frac{t}{a}\right)=f\left(\frac{t}{a}\right)-f(1)$이고, $\displaystyle a$가 양의 실수이어서 $\displaystyle t\to a$이기 위한 필요충분조건이 $\displaystyle \frac{t}{a}\to1$이므로 $\displaystyle \frac{t}{a}=x$로 나타내면$\displaystyle \lim_{t\to a}f(t)-f(a)=\lim_{\frac{t}{a}\to1}f\left(\frac{t}{a}\right)-f(1)=\lim_{x\to1}f(x)-f(1)=0$이 성립한다. 따라서 함수 $\displaystyle f$는 양의 실수 집합에서 연속이다.

(5) 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하면 임의의 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(1)}{x}$이 성립함을 보이시오.풀이: 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle 1$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)}{h}=f^{\prime}(1)$이 존재한다. 그러므로 임의의 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle x+h=x\cdot\left(1+\frac{h}{x}\right)$이고 $\displaystyle h$가 $\displaystyle 0$으로 수렴하면 $\displaystyle \frac{h}{x}$도 $\displaystyle 0$으로 수렴한다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=\lim_{h\to0}\frac{f(x)+f\left(1+\frac{h}{x}\right)-f(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{f\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}\cdot\frac{1}{x}=\frac{f^{\prime}(1)}{x}\end{aligned}$이 존재하여 $\displaystyle x$에서 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(1)}{x}$이 성립한다.